On suppose $r >0$.
$r^r$ est rationnel si et seulement si $r\in\mathbb {N}^*$.
Pour le prouver, il suffit de considérer la décomposition de $r$ en facteurs premiers.

r est rationnel donc r=a/b avec a et b entiers.

r^r=(a/b)^(a/b) est rationnel si a^(a/b) l'est ainsi que b^(a/b).

a^a est rationnel ainsi que b^a puisque a et b sont entiers, il reste donc à vérifier que (a^a)^(1/b) et (b^a)^(1/b) le sont aussi.

Il faut donc d'abord que la racine b-ièmes de a^a soit entière, c'est à dire que a^a puisse s'écrire c^b avec c entier.

On a alors

Tu es sur la bonne voie Franky, reste à trouver une preuve...

Pour la restriction $r$ positif (disons strictement pour ne pas créer de polémiques), c'est que $r^r$ n'existe pas toujours lorsque $r<0$.

@shadock : que veux-tu dire par "la fonction exponentielle n'est pas rationnelle ?"

C'est sans doute un problème de français ^^
Je m'explique donc : J'entends que l'on ne peut pas exprimer la fonction exponentielle comme un fraction, en effet considérons le raisonnement par l'absurde suivant :
$$exp(x) \in \mathbb{Q} \Longleftrightarrow exp(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}[/latex] avec P et Q deux polynômes à coefficients réels. Donc [latex]exp'(x)=\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}=\frac{P(x)}{Q(x)}$$
Soit $P'Q-PQ'=PQ$

Or $deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)$
$$deg(P'Q)=deg(PQ)-1$$
$$deg(PQ')=deg(PQ)-1$$
C'est à dire $deg(P'Q)-deg(PQ') \le deg(PQ)-1$, absurde!

Donc on ne peut exprimer la fonction exponentielle comme une fraction.

Shadock

@shadock : ah ok, la fonction exponentielle n'est pas une fonction rationnelle ie un quotient de 2 polynômes. Je suis d'accord. Mais à quoi ça sert ?

Bonjour

Le problème est assez simple si on le prend par le bon bout .

$\sqrt[n]{x}$ est rationnel si et seulement si $x$ est une puissance nième d'un rationnel . Si $x=\frac ab$ et $x^x=\sqrt[b]{x^a}$ sont rationnels alors $x^a$ doit être une puissance bième d'un rationnel et comme on a pris soin de prendre $a$ et $b$ premiers entre eux $x$ est aussi une puissance bième d'un rationnel . Alors $a$ est une puissance bième d'un entier et $b$ une puissance aième d'un entier . Comme on travaille sur des entiers , quelques inégalités simples donnent $a=1$ ou $b=1$ .  On élimine facilement $a=1$ , il reste $b=1$ qui ne pose aucun problème .

Les solutions sont les entiers positifs .

Vasimolo

Complément à mon post précédent
On a la relation: r^r = (m/n)^(m/n) = [(m/n)^m]^(1/n)
Donc (m/n)^m doit être une puissance n-ième d'un rationnel et, puisque m et n sont premiers entre eux (fraction par définition irréductible), (m/n) aussi.
Donc m et n doivent être des puissances n-ièmes d'entiers.
Donc il doit exister un entier p tel que: n = p^n, d'où: p = exp[log(n)/n], uniquement vérifié pour n=1.
Je maintiens donc ma conclusion que r doit être un entier relatif.

Pour simplifier, je prouve d'abord ce que j'ai énoncé dans 2 cas particuliers.
1) $r=p^\alpha$ avec $p$ premier, $\alpha\in\mathbb{N}^*$
Dans ce cas $r^r$ est un entier.

2) $r=\frac{1}{p^\alpha}$ avec p premier, $\alpha\in\mathbb{N}^*$
Supposons que $r^r$ soit rationnel :
$$r^r=\frac{a}{b}[/latex] avec [latex]a,b[/latex] premiers entre eux. Alors [latex]b^{p^\alpha}=a^{p^\alpha}\,p^\alpha$$
D'après le lemme de Gauss, $p$ divise $b$ ; donc $p$ ne divise pas $a$.
Si $b$ contient le facteur $p$ à la puissance $k\geq 1$, on a donc
$$p^{k\,p^\alpha}=p^\alpha$$
$$k\,p^\alpha=\alpha$$
ce qui est impossible. Donc $r^r$ n'est pas rationnel.

Le cas général se traite de façon analogue, en considérant la décomposition de $r$ en facteurs premiers.

Je ne vois pas de solution autre que r entier.

Bravo à tous ceux qui ont trouvé que $r$ doit être entier.

Je fournis ici une démonstration très détaillée :

On pose $r=\frac ab$ avec $a$ et $b$ deux entiers (strictement positifs) premiers entre eux.

On suppose que $r$ n'est pas entier (ie $b \geq 2$) et que $r^r$ est un rationnel.

On peut écrire $r^r=\frac pq$ avec $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux.

Cela donne $\frac{a^a}{b^a} = \frac{p^b}{q^b}$

Comme les deux fractions sont irréductibles, on en déduit que $b^a=q^b$

Notons ce nombre $x$. Dans la décomposition en produit de facteurs premiers de $x$, les puissances qui apparaissent sont des multiples de $a$ car $x=b^a$, et également des multiples de $b$ car $x=q^b$. Puisque $a$ et $b$ sont premiers entre eux, on en déduit que ces puissances sont des multiples de $ab$ et par conséquent que $x=y^{ab}$ où $y$ est un entier.

On en déduit que $b^a=y^{ab}$ et donc $b=y^b$.

Mais $b \geq 2$ donc $y \geq 2$ et donc $b \geq 2^b$. C'est absurde.

Par conséquent, si $r$ est un rationnel non entier, alors $r^r$ est irrationnel. Évidemment, si $r$ est un entier, alors $r^r$ est un entier donc un rationnel.