On suppose [latex]r >0[/latex].
[latex]r^r[/latex] est rationnel si et seulement si [latex]r\in\mathbb {N}^*[/latex].
Pour le prouver, il suffit de considérer la décomposition de [latex]r[/latex] en facteurs premiers.

r est rationnel donc r=a/b avec a et b entiers.

r^r=(a/b)^(a/b) est rationnel si a^(a/b) l'est ainsi que b^(a/b).

a^a est rationnel ainsi que b^a puisque a et b sont entiers, il reste donc à vérifier que (a^a)^(1/b) et (b^a)^(1/b) le sont aussi.

Il faut donc d'abord que la racine b-ièmes de a^a soit entière, c'est à dire que a^a puisse s'écrire c^b avec c entier.

On a alors

Tu es sur la bonne voie Franky, reste à trouver une preuve...

Pour la restriction [latex]r[/latex] positif (disons strictement pour ne pas créer de polémiques), c'est que [latex]r^r[/latex] n'existe pas toujours lorsque [latex]r<0[/latex].

@shadock : que veux-tu dire par "la fonction exponentielle n'est pas rationnelle ?"

C'est sans doute un problème de français ^^
Je m'explique donc : J'entends que l'on ne peut pas exprimer la fonction exponentielle comme un fraction, en effet considérons le raisonnement par l'absurde suivant :
[TeX]exp(x) \in \mathbb{Q} \Longleftrightarrow exp(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}[/latex] avec P et Q deux polynômes à coefficients réels.

Donc [latex]exp'(x)=\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}=\frac{P(x)}{Q(x)}[/TeX]
Soit [latex]P'Q-PQ'=PQ[/latex]

Or [latex]deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)[/latex]
[TeX]deg(P'Q)=deg(PQ)-1[/TeX]
[TeX]deg(PQ')=deg(PQ)-1[/TeX]
C'est à dire [latex]deg(P'Q)-deg(PQ') \le deg(PQ)-1[/latex], absurde!

Donc on ne peut exprimer la fonction exponentielle comme une fraction.

Shadock

@shadock : ah ok, la fonction exponentielle n'est pas une fonction rationnelle ie un quotient de 2 polynômes. Je suis d'accord. Mais à quoi ça sert ?

Bonjour

Le problème est assez simple si on le prend par le bon bout .

[latex]\sqrt[n]{x}[/latex] est rationnel si et seulement si [latex]x[/latex] est une puissance nième d'un rationnel . Si [latex]x=\frac ab[/latex] et [latex]x^x=\sqrt[b]{x^a}[/latex] sont rationnels alors [latex]x^a[/latex] doit être une puissance bième d'un rationnel et comme on a pris soin de prendre [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] premiers entre eux [latex]x[/latex] est aussi une puissance bième d'un rationnel . Alors [latex]a[/latex] est une puissance bième d'un entier et [latex]b[/latex] une puissance aième d'un entier . Comme on travaille sur des entiers , quelques inégalités simples donnent [latex]a=1[/latex] ou [latex]b=1[/latex] .  On élimine facilement [latex]a=1[/latex] , il reste [latex]b=1[/latex] qui ne pose aucun problème .

Les solutions sont les entiers positifs .

Vasimolo

Complément à mon post précédent
On a la relation: r^r = (m/n)^(m/n) = [(m/n)^m]^(1/n)
Donc (m/n)^m doit être une puissance n-ième d'un rationnel et, puisque m et n sont premiers entre eux (fraction par définition irréductible), (m/n) aussi.
Donc m et n doivent être des puissances n-ièmes d'entiers.
Donc il doit exister un entier p tel que: n = p^n, d'où: p = exp[log(n)/n], uniquement vérifié pour n=1.
Je maintiens donc ma conclusion que r doit être un entier relatif.

Pour simplifier, je prouve d'abord ce que j'ai énoncé dans 2 cas particuliers.
1) [latex]r=p^\alpha[/latex] avec [latex]p[/latex] premier, [latex]\alpha\in\mathbb{N}^*[/latex]
Dans ce cas [latex]r^r[/latex] est un entier.

2) [latex]r=\frac{1}{p^\alpha}[/latex] avec p premier, [latex]\alpha\in\mathbb{N}^*[/latex]
Supposons que [latex]r^r[/latex] soit rationnel :
[TeX]r^r=\frac{a}{b}[/latex] avec [latex]a,b[/latex] premiers entre eux.
Alors
[latex]b^{p^\alpha}=a^{p^\alpha}\,p^\alpha[/TeX]
D'après le lemme de Gauss, [latex]p[/latex] divise [latex]b[/latex] ; donc [latex]p[/latex] ne divise pas [latex]a[/latex].
Si [latex]b[/latex] contient le facteur [latex]p[/latex] à la puissance [latex]k\geq 1[/latex], on a donc
[TeX]p^{k\,p^\alpha}=p^\alpha[/TeX]
[TeX]k\,p^\alpha=\alpha[/TeX]
ce qui est impossible. Donc [latex]r^r[/latex] n'est pas rationnel.

Le cas général se traite de façon analogue, en considérant la décomposition de [latex]r[/latex] en facteurs premiers.

Je ne vois pas de solution autre que r entier.

Bravo à tous ceux qui ont trouvé que [latex]r[/latex] doit être entier.

Je fournis ici une démonstration très détaillée :

On pose [latex]r=\frac ab[/latex] avec [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] deux entiers (strictement positifs) premiers entre eux.

On suppose que [latex]r[/latex] n'est pas entier (ie [latex]b \geq 2[/latex]) et que [latex]r^r[/latex] est un rationnel.

On peut écrire [latex]r^r=\frac pq[/latex] avec [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] deux entiers premiers entre eux.

Cela donne [latex]\frac{a^a}{b^a} = \frac{p^b}{q^b}[/latex]

Comme les deux fractions sont irréductibles, on en déduit que [latex]b^a=q^b[/latex]

Notons ce nombre [latex]x[/latex]. Dans la décomposition en produit de facteurs premiers de [latex]x[/latex], les puissances qui apparaissent sont des multiples de [latex]a[/latex] car [latex]x=b^a[/latex], et également des multiples de [latex]b[/latex] car [latex]x=q^b[/latex]. Puisque [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont premiers entre eux, on en déduit que ces puissances sont des multiples de [latex]ab[/latex] et par conséquent que [latex]x=y^{ab}[/latex] où [latex]y[/latex] est un entier.

On en déduit que [latex]b^a=y^{ab}[/latex] et donc [latex]b=y^b[/latex].

Mais [latex]b \geq 2[/latex] donc [latex]y \geq 2[/latex] et donc [latex]b \geq 2^b[/latex]. C'est absurde.

Par conséquent, si [latex]r[/latex] est un rationnel non entier, alors [latex]r^r[/latex] est irrationnel. Évidemment, si [latex]r[/latex] est un entier, alors [latex]r^r[/latex] est un entier donc un rationnel.