La proposition directe affirme que lorsque la proportion cible peut s'écrire sous la forme [latex]\frac{a}{a+1}[/latex] (avec [latex]a[/latex] entier), alors il est impossible de passer de strictement en dessous à strictement au-dessus en un seul lancer.

La proposition réciproque est la suivante : lorsque la proportion cible ne peut pas s'écrire sous la forme [latex]\frac{a}{a+1}[/latex], alors il est possible de passer de strictement en dessous à strictement au-dessus en un seul lancer.

C'est très simple : Soit la fraction est égale à une fraction de la forme n/(n+1) et on y passe tout le temps , soit on peut l'intercaler entre deux de ces fractions...

Exemples :

2/3< (5/7 = 0, 71...)<3/4
4/5 < (30/37 = 0,81...) <5/6
555/556 < (1111/1113 = 0,9982....) < 556/557

T'es terrible  titoufred  à toujours chercher la petite bête !

Soit c'est une fraction n/n+1 et la preuve est faite, on y passe . Soit ce n'en est pas une et elle se retrouve entre 2 de ces fractions. Donc en un coup on passe de l'autre côté de la fraction en passant de k/k+1 à k+1/k+2 avec k/k+1 juste en dessous de la fraction... Elle est bien strictement croissante cette fonction ?

Je ne comprends pas pourquoi ma réponse n'est pas juste.

Vasimolo, prends une fraction quelle qu'elle soit....

Soit elle est égale à n/n+1 soit elle ne l'est pas.

1) elle est de la forme irréductible n/n+1 : on passera par elle  (cela a été démontré)

2 ) elle n'est pas de la forme n/n+1 : elle est donc différente de toute fraction réductible à la forme n/n+1.

Malgré tout, elle reste dans l'intervalle [0,1] donc elle est obligatoirement située entre deux fractions de type n/n+1 consécutives. Or le fait de faire un tirage fait justement passer de n/(n+1) à (n+1)/(n+2).

Les exemples sont là pour illustrer le propos, pas pour avoir valeur de démonstration.

Voilà la suite des n / n+1 :

1    /    2    0,5000000
2    /    3    0,6666667
3    /    4    0,7500000
4    /    5    0,8000000
5    /    6    0,8333333
6    /    7    0,8571429
7    /    8    0,8750000
8    /    9    0,8888889
9    /    10    0,9000000
10    /    11    0,9090909
11    /    12    0,9166667
12    /    13    0,9230769
13    /    14    0,9285714
14    /    15    0,9333333
15    /    16    0,9375000
16    /    17    0,9411765
17    /    18    0,9444444
18    /    19    0,9473684
19    /    20    0,9500000
20    /    21    0,9523810
21    /    22    0,9545455
22    /    23    0,9565217
23    /    24    0,9583333
24    /    25    0,9600000
25    /    26    0,9615385
26    /    27    0,9629630
27    /    28    0,9642857
28    /    29    0,9655172
29    /    30    0,9666667
30    /    31    0,9677419
31    /    32    0,9687500
32    /    33    0,9696970
33    /    34    0,9705882
34    /    35    0,9714286
35    /    36    0,9722222
36    /    37    0,9729730
37    /    38    0,9736842
38    /    39    0,9743590
39    /    40    0,9750000
40    /    41    0,9756098
41    /    42    0,9761905
42    /    43    0,9767442
43    /    44    0,9772727
44    /    45    0,9777778
45    /    46    0,9782609
46    /    47    0,9787234
47    /    48    0,9791667
48    /    49    0,9795918
49    /    50    0,9800000
50    /    51    0,9803922
51    /    52    0,9807692
52    /    53    0,9811321
53    /    54    0,9814815
54    /    55    0,9818182
55    /    56    0,9821429
56    /    57    0,9824561
57    /    58    0,9827586
58    /    59    0,9830508
59    /    60    0,9833333
60    /    61    0,9836066
61    /    62    0,9838710
62    /    63    0,9841270
63    /    64    0,9843750
64    /    65    0,9846154
65    /    66    0,9848485
66    /    67    0,9850746
67    /    68    0,9852941
68    /    69    0,9855072
69    /    70    0,9857143
70    /    71    0,9859155
71    /    72    0,9861111
72    /    73    0,9863014
73    /    74    0,9864865
74    /    75    0,9866667
75    /    76    0,9868421
76    /    77    0,9870130
77    /    78    0,9871795
78    /    79    0,9873418
79    /    80    0,9875000
80    /    81    0,9876543
81    /    82    0,9878049
82    /    83    0,9879518
83    /    84    0,9880952
84    /    85    0,9882353
85    /    86    0,9883721
86    /    87    0,9885057
87    /    88    0,9886364
88    /    89    0,9887640
89    /    90    0,9888889
90    /    91    0,9890110
91    /    92    0,9891304
92    /    93    0,9892473
93    /    94    0,9893617
94    /    95    0,9894737
95    /    96    0,9895833
96    /    97    0,9896907
97    /    98    0,9897959
98    /    99    0,9898990
99    /    100    0,9900000
100    /    101    0,9900990
101    /    102    0,9901961
102    /    103    0,9902913
103    /    104    0,9903846
104    /    105    0,9904762
105    /    106    0,9905660
106    /    107    0,9906542
107    /    108    0,9907407
108    /    109    0,9908257
109    /    110    0,9909091
110    /    111    0,9909910
111    /    112    0,9910714
112    /    113    0,9911504
113    /    114    0,9912281
114    /    115    0,9913043
115    /    116    0,9913793
116    /    117    0,9914530
117    /    118    0,9915254
…    …    …    …


Si on poursuit la série de limite 1 , tu peux trouver une fraction dont la valeur est non comprise entre 2 de ses termes qui ne soit pas égale à l'un d'entre eux ?

Vous avez quand même fâcheusement tendance à assimiler la simplicité à un manque de rigueur. Je ne reviendrai sur ce raisonnement que si vous m'opposez un argument convaincant.

Gwen a écrit:

...tu peux trouver une fraction dont la valeur est non comprise entre 2 de ses termes qui ne soit pas égale à l'un d'entre eux ?

Je ne comprends même pas la phrase, ni ce que vous cherchez

Dans ce genre de problèmes j'aurai personnellement tendance à raisonner avec des logarithmes mais comme je ne comprends pour le moment je me contente de regarder.

Shadock

Je vais essayer de reprendre.

Soient i (nombre de piles) et n (nombre de tirages) deux entiers naturels quelconques tels que i/n<a et supposons qu'à partir de n tirages on ne fasse plus que des piles.

Il faut étudier la suite Uk = (i+k)/(n+k) pour savoir si elle passe par a ou non.

La condition est qu'il faut qu'il existe un entier naturel k tel que (i+k)/(n+k) = a quelque soit i et n vérifiant i/n<a

D'où k = (an-i)/1-a

Pour a = 0.8, on trouve k = 4n-5i et donc k est forcément un entier naturel car i/n<0.8 et 5i<4n.

Pour a = 0.7, on trouve k = (7n - 10i)/3, qui n'est pas un entier naturel quelque soit i et n.

Je ne vois toujours pas l'erreur.

shadock a écrit:

Gwen a écrit:

...tu peux trouver une fraction dont la valeur est non comprise entre 2 de ses termes qui ne soit pas égale à l'un d'entre eux ?

Je ne comprends même pas la phrase, ni ce que vous cherchez

Dans ce genre de problèmes j'aurai personnellement tendance à raisonner avec des logarithmes mais comme je ne comprends pour le moment je me contente de regarder.

Shadock

C'est juste un truc introuvable. Mais si quelqu'un le trouve, j'ai faux.

C'est vrai mais si ma démonstration n'est pas économique, elle reste générale. Toute fraction (positive <1) n'étant pas réductible à n/n+1 est comprise (entre 0 et 1 et donc) entre deux fractions de type n/n+1 qu'on peut relier en 1 tirage.

Au fait, 8/10 ne mène pas à 9/10 mais à 9/11 , ce que l'on veut éviter.
Finalement , je me dis que cette solution est la plus économique car elle ne nécessite qu'un seul face puis des piles.

Elle n'est pas parfaite car elle n'explique pas les fractions < 0,5 ... Mais j'aime bien les raccourcis et de toute façon je ne sais pas expliquer.

On peut obtenir la même chose pour 3/31 PAR EXEMPLE en partant de 1/11 au lieu de 1/2 vu que la fraction du genre 1/n juste inférieure à 3/31 est 3/33 = 1/11

Si tu tires 4 pile pour 1 face : Tu es à 4 pile pour 1 face :  4/5 ?

Tire encore un pile tu as 5 pile pour 1 face soit 5/6

Petite idée:pour p le pourcentage recherché.
soit a et b quelconque appartenant à N tel que a<pb
on doit avoir n tel que:a+n=p(b+n)
j'obtiens (pb-a)/(1-p)=n
si n est un entier naturel alors c'est vrai.
votre avis?

gwen27 a écrit:

Elle n'est pas parfaite car elle n'explique pas les fractions < 0,5 ... Mais j'aime bien les raccourcis et de toute façon je ne sais pas expliquer.

On peut obtenir la même chose pour 3/31 PAR EXEMPLE en partant de 1/11 au lieu de 1/2 vu que la fraction du genre 1/n juste inférieure à 3/31 est 3/33 = 1/11

Je pense qu'il n'y a pas d'explication entre 0 et 1/2.
Il n'y a aucun point de passage obligatoire.
Tout simplement par l'exemple le plus simple !
1er jet, face !
2ième jet, pile !