Pour minimiser, il faut choisir x le début du trajet sur la route

x/30+ rac(820-52x+x^2) /18

Dérivée :
1/30 + (x-26)/18rac(820-52x+x^2)  =0

Et là, merci wolfram minimum pour x = 17km

Soit 84 mn

Bonjour et bravo pour ton 1000ème

Si on note [latex]26-x[/latex] la distance parcourue sur la voie rapide , la durée totale [latex]t[/latex] du trajet en heures est donnée par [latex]90.t=78-3x+5\sqrt{x^2+144}[/latex] cette fonction atteint son minimum pour [latex]x=9[/latex] ce qui donne [latex]60.t=84[/latex] .

84 minutes pour le trajet complet .

Vasimolo

L'ami Wolfram m'a épargné la dérivation.

17 km sur la nationale, puis on traverse le reste du champ en diagonale.

7/5 d'heure soit 84 minutes.

J'ai déjà vu plus ambitieux, comme 1000me message

Par un calcul différentiel, Tu dois marcher 17 Km sur la route AB avant d'aller directement à C (15 Km).
La durée minimale sera de 84 minutes.
Merci pour cette énigme

le VTTiste suit la route de A vers B puis à une distance X de B, coupe à travers champ pour rejoinde C. Le temps de parcours devient:
t=60[ (26-X)/30 + (x^2+12^2)^(1/2)/18 ]=52-2X+10 V(x^2+12^2)/3
dt/dX=-2+(10 X)/(3 sqrt(144+X^2))
qui a pour racine X=9.
Le temps de parcours est 84 minutes losrque le cycliste ccoupe au km17.

Le trajet optimal est forcément constitué de deux segments :

1) une partie de [latex]26-x[/latex] km sur la route, à la vitesse de [latex]2[/latex] min/km

2) une partie de [latex]\sqrt{x^2+12^2}[/latex]km sur le champ, à la vitesse de [latex]10/3[/latex] min/km.

On cherche donc à minimiser [latex]f(x)=2(26-x)+\frac{10}3\sqrt{x^2+12^2}[/latex]

pour [latex]x \in [0;26][/latex]

On calcule [latex]f'(x)=-2+\frac{10x}{3\sqrt{x^2+12^2}}[/latex]

Alors, [latex]f'(x)=0[/latex]
[TeX]\Longleftrightarrow 2 = \frac{10x}{3\sqrt{x^2+12^2}}[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow 6\sqrt{x^2+12^2} = 10x[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow 6^2\times(x^2+12^2) = 100x^2[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow 6^2\times 12^2 = 64 x^2[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow 6\times 12 = 8x[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow x=9 [/TeX][TeX]26-9=17
[/TeX]
Le trajet le plus rapide consiste donc à rouler 17km sur la route puis à se diriger vers le point d'arrivée.
[TeX]f(9)=2\times 17+\frac{10}3\sqrt{9^2+12^2}=34+10\sqrt{3^2+4^2}=34+10\sqrt{25}=34+50=84[/TeX]
Le temps de parcours minimal vaut alors 84 minutes.

Solution générale du problème :

Soit le rectangle suivant :


Vous pouvez vérifier que :
[TeX]BC=x[/latex] et [latex]BE=\frac{x}{2}[/TeX]
[TeX]FE=\frac{x*tan(\theta)}{2}[/TeX]
[TeX]z=y-x*tan(\theta)[/TeX]
[TeX]t=\sqrt{\left(\frac{x*tan(\theta)}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\left|\frac{x}{cos(\theta)}\right|[/TeX]
Calcul de la minimisation :

La longueur du trajet est minimal si [latex]4t+z[/latex] est minimal, c'est-à-dire si
[TeX]f(\theta)=2*\left|\frac{x}{cos(\theta)}\right|+y-x*tan(\theta)[/latex] est minimale.

On calcul : [latex]\frac{d}{d\theta}\left(f(\theta)\right)[/TeX]
Ce qui abouti à : [latex]\frac{2x^2tan(\theta)sec^2(\theta)}{\sqrt{x^2sec^2(\theta)}}-x.sec^2(\theta)[/latex]

Qui s'annule en [latex]\frac{\pi}{6}[/latex] et [latex]\frac{5\pi}{6}[/latex] avec [latex]x \neq 0[/latex]


Temps de parcourt :

En passant par la route sur la distance [latex]z=19.1[/latex] km et dans le champs sur la longueur [latex]2t=14[/latex] km
Il faudra donc [latex]\frac{14}{18}+\frac{19}{30}=1.41[/latex]h soit 84 minutes en faisant le calcul exact!


Shadock

J'ai cherché (peut-être mal) sur internet, c'est quoi TF3 ?

Et oui, le nom a changé.

Il s'agit maintenant de la Terminale STI électrotechnique (STI signifiant sciences et technologies industrielles).

Il a le même résultat mais en plaçant la route au milieu du champ

Il trouve 19 km sur la route et 14km dans les champs, au lieu de 17 et 15.

Mais j'ai trouvé une erreur : il minimise 4t+z au lieu de 2t+z.

rivas a écrit:

Mais comment prouve-t-on que c'est bien la stratégie qui va donner la meilleure solution?

C'est évident ! Si on quitte la ligne AB alors on est plus à 30 km par h et dans ce cas le meilleur parcours reste la diagonale AC (inégalité triangulaire)
Si jamais on marche X kilomètres sur AB et puis on la quitte on a intérêt à se diriger en ligne droite vers C pour les mêmes raisons !
C'est bien l'optimum car on suppose marcher sur AB avant d'aller linéairement à C !