Enigme Pgcd de (x^45)+1 et (x^99)+1 @ Prise2Tete

KraZer · #1

Bonjour,

Tout est dans le sujet...
Quel est ce p.g.c.d.

Franky1103 · #2

On détermine le PGCD de deux polynômes par le théorème moteur de l'algorithme d'Euclide, utilisant les divisions euclidiennes des polynômes.
x^99 + 1 = (x^45 + 1).(x^54 - x^9) + (x^9 + 1)
Donc le PGCD des polynômes (x^99 + 1) et (x^45 + 1) est égal au PGCD des polynômes (x^45 + 1) et (x^9 + 1); on continue:
x^45 + 1 = (x^9 + 1).(x^36 – x^27 + x^18 – x^9 +1), avec un reste nul.
Le PGCD recherché est donc: (x^9 + 1)
On peut facilement vérifier que:
x^99 + 1 = (x^9 + 1).(x^90 - x^81 + x^72 – x^63 + x^54 - x^45 + x^36 - x^27 + x^18 - x^9 + 1)

KraZer · #3

Merci Franky1103.
Maintenant que tu le dis, je me rappelle du procédé.
Jusque là
x^99 + 1 = (x^45 + 1).(x^54 - x^9) + (x^9 + 1)
j'étais arrivé et... mon vieux cerveau ne vit pas la suite.

Franky1103 · #4

J'avais un doute. Comme: (x^90 - x^81 + x^72 – x^63 + x^54 - x^45 + x^36 - x^27 + x^18 - x^9 + 1) = (x^9).(x^45 - 1).(x^36 – x^27 + x^18 – x^9 +1) + 1,
on peut en déduire que: (x^90 - x^81 + x^72 – x^63 + x^54 - x^45 + x^36 - x^27 + x^18 - x^9 + 1) et (x^36 – x^27 + x^18 – x^9 +1) sont premiers entre eux.

KraZer · #5

Référence du problème : Trigonométrie de N.J. Schons de 1959 Ed. La Procure Namur Bruxelles, pp 209 exercice n°535 ( question avec comme référence E.P.F. = Ecole Polytechnique Française ).

Franky1103 · #6

La référence est curieuse car ce n'est pas vraiment de la trigonométrie.

enigmatus · #7

Franky1103 #6 a écrit:
La référence est curieuse car ce n'est pas vraiment de la trigonométrie.

Les racines de l'équation x^45+1=0 sont 45 points régulièrement espacés sur le cercle trigonométrique, à partir du point -1.
Il en est de même des racines de l'équation x^99+1=0.
Il y a 9 racines communes aux 2 ensembles, régulièrement espacées à partir de -1.
On en déduit que le pgcd des 2 polynomes de départ est x^9+1.

Franky1103 · #8

@enigmatus
Ta solution est beaucoup plus élégante qu'une division de polynômes: j'aurais dû y penser. Au fait: bonne année.

KraZer · #9

Bonne année 2019.
Pour Enigmatus, Je CONFIRME la référence... D'ailleurs n'utilises-tu pas le cercle trigonométrique pour ta solution ?

enigmatus · #10

Bonne année à tous !

KraZer #9 a écrit:
Pour Enigmatus, Je CONFIRME la référence... D'ailleurs n'utilises-tu pas le cercle trigonométrique pour ta solution ?

Bah si, justement. C'était pour montrer que ce problème de polynômes avait un rapport à la trigonométrie.

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#1 - 28-12-2018 00:39:20

Pgcd de (x^4)5+1 et (x^99)+1

#0 Pub

#2 - 28-12-2018 11:02:19

Pgcd de (x^45)++1 et (x^99)+1

#3 - 29-12-2018 01:53:51

Pgcd de (x^4)+1 et (x^99)+1

#4 - 29-12-2018 18:44:42

Pgcd de (x^45)+ et (x^99)+1

#5 - 29-12-2018 22:45:25

Pgdc de (x^45)+1 et (x^99)+1

#6 - 31-12-2018 14:49:36

Pgcd de (x^45)+1 eet (x^99)+1

#7 - 31-12-2018 18:19:58

Pgcd de (x^455)+1 et (x^99)+1

Franky1103 #6 a écrit:

#8 - 31-12-2018 20:57:22

Pgcd de (x^45)+ 1et (x^99)+1

#9 - 01-01-2019 05:30:33

Pgcd de (x^45)+1 et ((x^99)+1

#10 - 01-01-2019 08:55:12

Pgcd de (x^45)+1 et (x9^9)+1

KraZer #9 a écrit:

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