Le raisonnement est un peu long mais j'ai trouvé une formule qui tombe à priori toujours juste :

Après moult calculs sur le nombre d'intersections [latex] \alpha[/latex] et le nombre de segments [latex]\beta[/latex] j'obtiens
[TeX]N=1-(\alpha-\beta)[/TeX]
Avec :
[TeX]\alpha=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}[/TeX][TeX]\beta=\frac{2n((6n+6)+(n-1)(n-2)(n-3))}{24}[/TeX]
On trouve donc [latex]N=31[/latex] pour [latex]n=6[/latex]

Shadock

La réponse est 31.

J'ai trouvé une méthode qui permet d'avoir le nombre de régions en fonction du nombre de points.

C'est pas élégant mais c'est la façon dont j'ai procédé. 

1/ Tout d'abord, la création d'un segment qui coupe n segments ajoute n+1 zones.
2/ Le cercle correspond à une zone qu'on rajoutera au total des zones à la fin.

(c'est un peu long)

Spoiler : [Afficher le message]
Soit un cercle de N points. Prenons un point quelconque, A. On peut le connecter avec N-1 points et créer ainsi 1 zone, puis une de plus, + 1, +1, ... soit n-1 zones car les segments ne se coupent pas (voici les zones rajoutés):

1
1
1
...
1
1
1

Prenons un point "adjacent" à A, B. On le connecte au point adjacent différent de A, C et on a 1 zone de plus. On continue et on le connecte à D. Or A est lié à C, donc le segement BD coupe un segment, on a donc 2 zones de plus. De la même façon, BE crée 3 zones de plus... :

1  1
1  2
1  3
1  4
...
1  N-3
1  N-2
1

On réitère l'algolrithme avec ceci de différent que les segement vont couper 0, puis 2, puis 4 segments et donc créer 1, 3, 5 zones. de plus. (car tous les points on été reliés à A et B):


1  1        1
1  2        3
1  3        5
1  4        7
.... ... ... ....
1  N-3     2N-7
1  N-2
1


Application avec N = 6:

Spoiler : [Afficher le message] 

nZ =30, avec la zone de départ, on a 31 zones.
1 1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 5
1 4
1


Je réfléchirai demain pour une formule générale.

PS: Un peu dans le même genre, intéressant.

Par le pouvoir de la brute-force, je dis : 31 !
Et en effet, l'énigme y est déjà sur P2T mais dans un autre sens ici.

Et la suite de la suite :
57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036, 6196, 7547, 9109, 10903, 12951, 15276, 17902
On retrouve 2^8 à la 10e place.

La formule qui génère cette suite est la suivante :
[latex]\frac{1}{24} \cdot (n^4 - 6{n^3} +23{n^2} - 18n  + 24)[/latex] avec n le nombre de points situés sur le cercle. Reste à le démontrer

Le n-ième élément et aussi la somme des 5 premiers termes de la n-ième ligne du triangle de Pascal.

Merci à tous d’avoir participé et trouvé 31.
L’erreur aurait été de répondre hâtivement 32.

La formule est donnée par: R(n)=C(n,4)+C(n,2)+1
avec: C(n,p)=n!/[p!*(n-p)!]
qui peut s’écrire, comme indiqué par SabanSuresh:
R(n)=(n^4-6.n^3+23.n^2-18.n+24)/24

Les formules de shadock semblent correctes (avec, sauf erreur de ma part,
un signe – à la place du + entre 6n et 6 pour béta).
A noter aussi l’intéressante bizarrerie mathématique indiquée par JulesV.

Pour n=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;... on a: R(n)=1;2;4;8;16;31;57;99;163;256;...

shadock a écrit:

Saban si tu veux j'ai la démonstration, mais j'ai la flegme d'écrire tout mon raisonnement ^^

La flemme, tu veux dire ? Parce que jusqu'ici, on t'a connu plus flemmard que flegmatique

(Et en passant, ne traduis jamais "flegme" par "phlegm" en anglais. Je me suis fait avoir une fois... Plus jamais.)

Non, non, c'est bon. Pas la peine si c'est long. De toute façon, j'y comprendrai quasiment rien