Le plus court temps réalisable : 19 minutes.
Le deuxième plus court : 21 minutes (il re-va au 1 puis le fait dans l'ordre). → 1 chance sur 2 d'arriver.
Puis : 23 minutes → 1 chance sur 4 d'arriver ....
Le trajet durera forcément 19+2x minutes.
Et 19+2x a 1/(2^x) d'arriver avec x un naturel non nul.

Grâce des calculs successifs (x entre 1 et 5, puis entre 1 et 10, enfin entre 1 et 15), je dirai que sa promenade durera en moyenne 30 minutes.

Suis-je bon ?

Ce n'est pas 1/2h Saban, ni un an Nodgim.

Tiens, toi qui lis en ce moment, tu dirais combien à la louche ?

5h30mn environ  ?

19 minutes

Les estimations données actuellement pour le temps de promenade vont de 19 minutes jusqu'à 6 mois !

Allez lancez-vous, faites vos jeux !

A vue de nez, je dirais 4h45min. 15 fois le temps minimum de 19 minutes. Il faut avancer 19 fois de plus qu'on recule, comment veux-tu... comment veux-tu... que ça avance ?

Je simplifie : quel est le temps moyen pour atteindre le wagon n°3 ?
50% du temps, il faut 2 minutes
25% du temps, il faut 4 minutes
12,5% du temps, il faut 6 minutes
...
Ce qui fait [latex]2 * \sum\nolimits_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{2^{n}})\[/latex]
qui converge vers 4.

Avec le wagon n°4, je trouve [latex]\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}(\frac{(2n+3)*3^n}{4^{n}})\[/latex] qui converge apparemment vers 9...

J'entrevois que la réponse est 19^2, soit 361 minutes, 6h01min.

Proposition

En partant de la voiture n°1, la probabilité d'y revenir est aussi grande que celle de s'en éloigner. La question possée ne me parait pertinente que grâce au fait qu'en voiture N°1, il repart avec une probabilité=1 vers la voiture N°2. Ceci peut donc être assimilé à un mouvement oscillatoire avec une prise d'énergie en voiture N°1 qui permet d'aller une voiture plus loin au coup suivant. Les temps mis pour réaliser des aller/retour entre la voiture N°1 et les voitures 1, 2, 3, 4, ..., m constituent une suite croisante tel que:
[TeX]U_1=0[/latex] (A/R entre voiture N°1 et voiture N°1),
[latex]U_2=2[/latex] (A/R entre voiture N°1 et voiture N°2),
[latex]U_3=4[/latex] (A/R entre voiture N°1 et voiture N°3),
...
...
[latex]U_m=2(m-1)[/latex] (A/R entre voiture N°1 et voiture N°m).

On remarque [latex]U_{n+1}=U_n+2[/latex], donc [latex](U_n)[/latex] est une suite arithmétique. Le temps mis pour atteindre la voiture k est  la somme des k premiers termes de [latex](U_n)[/latex] moins [latex](k-1)[/latex] qui correspond au retour qui n'aura pas eu lieu quand il atteint la voiture [latex]k[/latex].

[latex]S_n=\sum_{i=1}^{n}U_i=(n-1+1)*\frac{U_n+U_1}{2}[/TeX][TeX]S_n=n*\frac{2(n-1)+0}{2}=n(n-1)[/TeX]
Le temps moyen pour atteindre la voiture [latex]k[/latex] est donc

[latex]Temps(k)=S_k-(k-1)=k(k-1)-(k-1)=(k-1)^2[/latex].

AN: [latex]k=20[/latex].

[latex]Temps(20)=19^2=361=6h01min[/latex].
Voilà j'avais proposé 6h02min pour avoir ajouté un truc qu'il fallait pas

Bon. D'abord, initier une récurrence en affirmant que

Si j'ai une chance sur deux de réussir quelque chose à chaque tentative, j'y arriverai en moyenne la deuxième fois.

Parce que j'ai une chance sur deux de réussir la première fois, une chance sur quatre de réussir la deuxième fois, une chance sur huit la troisième fois, etc. L'espérance correspondante vaut donc [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^i}[/latex] qui vaut deux.



Le monsieur arrivera donc au vingtième wagon une minute après la deuxième fois qu'il atteindra le dix-neuvième. Si on note [latex]T_k[/latex] le premier instant d'arrivée au wagon numéro k :
[TeX]T_{k+1} = 2 T_k + 1[/TeX]
une suite arithmético-géométrique tellement simple à résoudre que j'en ai des frissons, qu'on initialise avec [latex]T_1 = 0[/latex].
[TeX]T_k = 2^{k-1} + 1[/TeX]
et [latex]T_{20}[/latex] vaut donc 524289 minutes... Un an moins un jour, en gros.



Soit ça, soit il fallait appliquer ce qu'apprend actuellement ma copine en processus de Markov réguliers avec une matrice de transition de dimension 20. La flemme de coder, désolé



PS : sauf qu'apparemment, la réponse "un an" a déjà été invalidée. Arf.

Bon, en fait je n'avais pas répondu à la question. Ce 6 mois, c'était le temps pour arriver au wagon 20 au bout de 19 mn, c'est à dire qu'il fallait recommencer au bout de 20 mn si échec....

Pour arriver au résultat, il faut soit arriver au bout du 19ème déplacement, sinon au 20ème, sinon au 21ème, etc...
Au final, avec un tableur de 20 colonnes, chaque colonne représentant un wagon, on calcule la proba à chaque étape, et il faut cumuler ensuite toutes les probas de la colonne 20. On franchit le 50% entre les lignes 117 et 118.
En moyenne, on atteindra le 20 ème wagon au bout de 117 à 118 mn.

J'ai compris qu'il s'agissait d'un mouvement brownien pour lequel Einstein aurait démontré en 1905 qu'après un temps n, la distance est proportionnelle à Vn. Dans notre cas, on serait dans le dernier wagon après 19^2 mn = 361 mn = 6 h 01 mn.

45 minutes

Salut je me suis lancé dans l'aventure de ton énigme.

Alors comment j'ai procédé :

Sur excel j'ai entré un tableau en ligne les numéros de wagon et en colonne le nombre de jour.

Ensuite ça ressemble à un triangle de pascal, que j'ai pu généraliser pour connaitre les probabilités d'être au wagon 20 selon le nombre de jour.

Par exemple pour être au wagon n°20 au 20ème jour je trouve 1/92378 ou encore au 35ème jour je trouve 2294248/1164587974.

Mais comment savoir où m'arrêter, c'est simple c'est quand la somme de ces probas se sont approchées le plus possible de 1 c'est à dire au jour n°155.

La moyenne sera donc entre les jours 20 à 155.

Ensuite je calcule comme on calcul une moyenne quand on a un tableau de proba en multipliant le numéro du jour avec sa proba correspondante.

Je trouve donc : 105 jours

Ps: je conserve le fichier excel si besoin