Ça c'est une conjecture faite par gwen, sans aucune explication.

Si tu veux tenter une démonstration...

Donc, ton raisonnement est le suivant :
(en reprenant les définitions de nodgim)
On regarde le premier intervalle. Il est positif par exemple. Dans l'autre partie, il existe forcément un intervalle négatif.

Ma question est : Pourquoi dis-tu qu'il existe forcément un intervalle négatif dans l'autre partie ?

Le dernier est l'opposé de la somme de tous les premiers ?

Oui, si le dernier intervalle a la place d'entrer... donc lorsque k divise n.
Mais sinon ?

EDIT : Tu fais un dernier intervalle avec moins d'éléments ? Alors là oui il est négatif, mais le reste de la démo pour le passage par 0 ne tient plus alors.

Si parce que dans mon exemple (OK, j'en ai mis un nombre impair et pas pair, mais ça ne change rien)

[6 7 8 ] est forcément impair, pas seulement [7 8 ]

Et même [5678] négatif ou nul car il y a 2 intervalles positifs avant.

Il y a des fois où je me dis que tu te forces pour ne pas comprendre (ou alors tu en fais exprès car tu attends un truc précis en réponse... mais c'est limite irritant)

On prend l'intervalle initial et l'intervalle final.

1) on passe de +x à -y : on passera par 0 de pas en pas.
2) on pase de -x à +y : idem

3) on passe de +x à +y : on n'est pas obligé de passer par 0 mais la somme globale est positive (incompatible avec l'énoncé)

4) on passe de -x à -y : idem

5) on passe de 0 à +/-x ou l'inverse : on a aussi le 0

Effectivement, on doit pour bloquer jusqu'à ent(n/2)-1 avec une disposition de type

1/3 1/2 1/3 1/2 1/3

Pour 12 : 4 6 4 6 4 = GGGG DDDDDD GGGG DDDDDD GGGG  k=5
Pour 15 : 5 7 5 8 5 = GGGGG DDDDDDD GGGGG DDDDDDDD GGGGG k=6
Pour 17 : 6 9 6 8 5 = GGGGGG DDDDDDDDD GGGGGG DDDDDDDD GGGGG k=7
...

Oui bravo gwen pour tous ces contre-exemples. Ça devrait peut-être t'aider à trouver la règle générale.

A tous ceux qui s'intéressent à ce problème, sachez que la conjecture émise par Gwen sur l'autre fil est fausse. Saurez-vous trouver un contre-exemple ?

@Gwen : x c'est k ? Quand tu dis x/n+1 est solution qu'est-ce que tu veux dire ? Tu peux donner un exemple ?

Je ne pense pas que cette piste donne quoi que ce soit, parce que ça ne donne pas du tout les cas possibles correspondant à ta conjecture.

Il faudrait peut-être prendre le problème à l'envers et commencer par voir dans quels cas c'est impossible. Déjà, en s'inspirant du cas n=15 et k=5 de l'autre fil, voir dans quels cas c'est clairement impossible.

nodgim, il est possible d'y arriver avec un intervalle inférieur à la moitié !

Cherche bien...

Tout d'abord, si k<n<2k-1, on peut ranger k-1 chaussures gauches, n chaussures droites puis le reste des chaussures gauches (n-k+1 qui vérifie n-k+1<k).

Mais il est possible de trouver un rangement pour n plus grand que 2k-1 :

Pour k donné, on va ranger les chaussures en paquet de k-1 chaussures gauches puis k+1 chaussures droites. Ainsi, tous les intervalles de k chaussures contiennent plus de droites que de gauches. On termine avec k-1-z chaussures gauches où y chaussures droites.
Évidemment pour que ce rangement fonctionne, il faut avoir autant de droites que de gauche. n=i(k+1)+y, nombre de chaussures droites et n=(i+1)(k-1)-z chaussures gauches, où i est le nombre de paquet de k+1 chaussures droites.

Comme y+z>=0, i vérifie i(k+1)<=(i+1)(k-1) donc i>(k-1)/2 : imax = E((k-1)/2).
Nmax sera atteint pour imax et z=0 : Nmax=(k-1)E((k+1)/2)

Mais il faut aussi que l'on ne termine pas le rangement par 1 paquet de droite incomplets suivi par des chaussures gauches : y (que l'on peut montrer <=k) et z ne doivent pas être non nuls simultanément. En d'autre terme, il faut que soit k-1 soit k+1 divisent n.

application pour k=5, on a Nmax=12
n=12, 5-1 divise n : rangement possible 4G6D4G6D4G
n=11, ni 5-1 ni 5+1 ne divisent n : rangement impossible
n=10, ni 5-1 ni 5+1 ne divisent n : rangement impossible
n=9, ni 5-1 ni 5+1 ne divisent n : rangement impossible
n=8, 5-1 divise n : rangement possible 4G6D4G2D (pas unique)
n=7, n>2k-1 : rangement possible 4G7D3G
n=6, n>2k-1 : rangement possible 4G6D2G

problème sympa et bien prise de tête !!!

Ok donc pour répondre partiellement à la question posée:
Si k impair, on pourra prendre au max (k²-1)/2 pour n.
Si k pair, on pourra prendre au max k(k-1)/2 pour n.

Reste à savoir quelles valeurs intermédiaires sont correctes...