Transformons G et D en unités + et -, comme 15+ et 15-, la somme algébrique totale est nulle.
Un intervalle de 10 a une somme paire: avec j+i=10, j représentant les +, i représentant les -, Ij-iI est forcément paire car i et j sont de même parité. 
Si on décale un intervalle d'une unité (passer de 1/10 à 2/11 par exemple) on change la somme algébrique de 0, +2 ou -2.

Dans le 1er intervalle, il faut une somme S non nulle, sinon c'est fini. Si S+, alors la somme des 20 autres éléments est S-. Coupons en 2 intervalles: 11/20 et 21/30. L'un d'eux est forcément -, car on ne peut avoir ces 2 intervalles + avec une somme -.
En partant de l'intervalle 1/10 qui est +, il faudra bien arriver à cet intervalle -. Or, comme on décale de 2 en 2 seulement, nécessairement, on devra passer par un O, donc une égalité de + et -.

CQFD

j et i sont les répartitions des + et des - dans un intervalle de 10, donc j+i=10. Par exemple 3+ et 7-.
Tiens, en écrivant cela, je trouve une simplification pour démontrer que la somme algébrique est tjs paire. je corrige mon 1er msg en conséquence.

Si i+j=10 alors ils sont de même parité, non ?
Si i pair, j également. Si i impair, j également.
Donc j-i aussi.

Du coup, ce n'est pas seulement vrai pour un intervalle de 10 chaussures.
C'est aussi vrai pour des intervalles de 8 chaussures contenant 4 gauches et 4 droites, ou bien des intervalles de 12 chaussures contenant 6 gauches et 6 droites, etc...

Ca marche aussi avec des chaussettes ?

OK, je sors...

Pas d'accord.

Bien vu. Je m'imaginais à tort que la somme algébrique des intervalles devait être nulle. Grossière erreur !

pour tout k compris strictement entre n/2 et n

Dans ce cas il suffit de mettre une sorte de chaussure au milieu des autres pour y arriver.

pour k=n c'est trivialement impossible et pour k inférieur ou égal à n/2, la différence entre les deux passera par 0 en faisant glisser l'intervalle.

J'avais loupé le coup du "impair" C'est donc ent(n/2) +1 < k <n si n est impair.
En gros, k doit être supérieur à la séparation de n en 2 parties les plus égales possibles.

S'il y a 2n chaussures, il peut donc y avoir une séquence de n G ou n D consécutives. Si on ne veut aucune  séquence de k G ou k D, alors il faut k>n.
Ou alors j'ai mal compris la question posée.