Tu en es loin, Franky...

Considérons la somme des unités: chaque chiffre apparait 5! fois, la somme des chiffres de 1 à 6 vaut 21. Comme c'est pareil pour chaque autre chiffre (dizaines, centaines, etc...) on en déduit que le résultat devrait être 111111*120*21 = 279999720

129157831660998

129 158 041 750 920

C'est chaud!

(a+b+c+d+e+f)² =
a²+b²+c²+d²+e²+f²+2ab+2ac+2ad+2ae+2af+2bc+2bd+2be+2bf+2cd+2ce+2cf+2de+2df+2ef

En prenant, a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6, je trouve la somme de tous les carrés en multipliant chaque double produit par 4!.somme(10^(i+j)) avec i,j=1,2,3,4,5,6 et i=!j et en multipliant les carrés par 5!.somme(10^2i).

Je trouve:

Somme de tout le bazar =

5!.somme(10^2i).(a²+b²+c²+d²+e²+f²)
+
4!.somme(10^(i+j)).(2ab+2ac+2ad+2ae+2af+2bc+2bd+2be+2bf+2cd+2ce+2cf+2de+2df+2ef)

avec
somme(10^2i)
= 1 + 100 + 10000 + 1000000 + 100000000 + 10000000000
= 10101010101

some(10^(i+j))
= 2.1000 + 2.10000 + 4.100000 + 4.1000000 + 6.10000000 + 4.100000000 + 4.1000000000 + 2.10000000000 + 2.1000000000000
= 224464422000

(a²+b²+c²+d²+e²+f²)
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
= 91

(2ab+2ac+2ad+2ae+2af+2bc+2bd+2be+2bf+2cd+2ce+2cf+2de+2df+2ef)
= 700

Il reste alors:

5!.10101010101.91 + 4!.224464422000.700
= 3881305319902920

Je relirai ça pour vérifier mon raisonnement, mais ça m'a l'air pas trop mal pour commencer.

129158041750920

Je dirais que cela fait 129158041750920

Reposer, reposer, c'est vite dit ...

On cherche (pour écrire une jolie formule):
[TeX]\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_6}(10^5\sigma(1)+10^4\sigma(2)+10^3\sigma(3)+10^2\sigma(4)+10^1\sigma(5)+\sigma(6))^2[/TeX]
où [latex]\mathfrak{S}_6[/latex] est le groupe symétrique de l'ensemble {1,2,3,4,5,6}. [latex]\sigma[/latex] représente un permutation de [latex]\mathfrak{S}_6[/latex].

Pour plus de commodité, je vais noter a,b,c,d,e,f les valeurs [latex]\sigma(1), ...\sigma(6)[/latex] et omettre [latex]\sigma \in \mathfrak{S}_6[/latex] pour les sommes, ceci étant toujours sous-entendu.

C'est la partie la plus délicate: on développe le carré, on factorise ce qui est constant. Les 2 constantes viennent des puissances de 10.
[TeX]\sum(10^5a+10^4b+10^3c+10^2d+10e+f)^2=10^{10}\sum{a^2}+10^8\sum{b^2}+10^6\sum{c^2}+10^4\sum{d^2}+10^2\sum{e^2}+\sum{f^2}+
2\Bigl{10^9\sum{ab}+10^8\sum{ac}+10^7\sum{ad}+10^6\sum{ae}+10^5\sum{af}+10^7\sum{bc}+...\Bigr}
[/TeX]
Il faut maintenant voir que chaque chiffre apparait 120 fois à chaque position et que donc les sommes des carrés sont les mêmes pour chaque puissance de 10. Le symbole 'a' (remplaçant pratique de [latex]\sigma(1)[/latex]) se voit attribuer lors de la somme globale, 120 fois chacun des chiffres de 1 à 6.
Il en est de même pour les doubles carrés.
Un autre façon de le dire est que:
[TeX]\sum{a^2}=\sum{b^2}=...=\sum{f^2}=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_6}\sigma(1)^2[/TeX]
et
[TeX]\sum{ab}=\sum{ac}=...=\sum{ef}=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_6}\sigma(1).\sigma(2)[/TeX]
Donc:
[TeX]\sum(10^5a+10^4b+10^3c+10^2d+10e+f)^2=
(\sum{a^2})*(10101010101)+2(\sum{ab})*(1122322110)[/latex] (1)

Il reste à calculer [latex]\sum{a^2}[/latex] avec a représentant 120 fois le chiffre 1, 120 fois le chiffre 2, ...
Donc [latex]\sum{a^2}=120(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)=10920[/TeX]
Et [latex]\sum{ab}[/latex] avec a qui vaut 120 fois chaque chiffre et pour chaque chiffre, b qui vaut 24 fois les 5 autres chiffres.

Donc [latex]\sum{ab}=24(1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+2.1+2.3+...)[/latex]
Chaque membre apparait 2 fois (1x2 et 2x1), ...

Donc [latex]\sum{ab}= 48(1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+2.3+2.4+2.5+2.6+3.4+3.5+3.6+4.5+4.6+5.6)=8400[/latex]

Finalement en utilisant (1) on trouve que la somme recherchée vaut:
129 158 041 750 920

Merci pour cet exercice de calcul sur les groupes symétriques

Je l'ai un peu completée alors. Merci de la référence

Ah oui ? Mais ce n'est pas la bonne réponse.

C'est mieux, mais... ce n'est encore pas ça. Cherche avec ton cerveau, donc.

fabb54 a écrit:

Un rapide calcul mental permet de trouver :
************ (edit MthS-MlndN : ne donne pas la réponse, voyons !)

Est il possible de le faire "à la main" ?

Ton cerveau est très entraîné, alors... et oui, il est possible de trouver ce résultat "à la main". N'est-ce pas, rivas ?