Ca faisait un moment que je me demandais s'il y avait un équivalent au théorème de Pick sur un maillage hexagonal... Je vais y réfléchir tiens

C'est ce que je me suis dit aussi. Si on transforme le maillage orthogonal en maillage triangulaire, à mon avis on peut adapter la formule de Pick, avec l'ajout d'un facteur sqrt(3)/2, qui est l'unité de mesure du "petit carré" qui devient un "petit parallélogramme".

Par contre, c'est bizarre : ce maillage triangulaire contient le maillage hexagonal, si je ne m'abuse. On aurait donc juste des points en plus par rapport aux 9 / 89 annoncés si on se mettait sur un maillage triangulaire. Et arriver à un résultat rationnel... j'ai du rater un truc

Oui ça je veux bien, mais c'est étrange. Supposons un polygone sur un maillage hexagonal, rajoutons les points qui manquent pour faire un maille triangulaire
> Ces points existent bien
> Le polygone est toujours sur le maillage
> Les nouveaux points sont soit dans le polygone, soit en dehors, soit sur la bordure ==> mes nombres 9 et 89 évoluent, on leur ajoute un nombre entier de points pour chacun.

D'après la formule précédente dérivée de Pick, je peux calculer son aire, elle sera "un entier" * sqrt(3)/4. Pour en faire 45,5...

A moins bien sur que 45.5 ne soit qu'une approximation (on aurait alors 2i+b = 107 et une aire de de 45,46633 environ), mais j'ai été habitué à plus de rigueur ici !

Salut

J'ai trouvé celui-ci qui correspond:



Les nœuds $V_6$ et $R_8$ sont sur la frontière.

Les nœuds $E_5$ et $Q_5$ sont (tout juste) en dehors.

il manque la condition sur les angles

C'est tout de suite moins simple

Es-tu certain qu'il est unique cependant? J'arrive à un résultat contraire.

Mon ébauche de réflexion:

On peut montrer que les cotés d'un tel polygone sont tous multiples de son plus petit segment (segments = cotés en prenant en compte les sommets "dégénérés" avec un angle de $180°$).

Il en résulte que le polygone est triangulable par un réseau régulier de triangles équilatéraux ayant pour maille le triangle équilatéral de coté le plus petit segment du polygone.

On a donc la relation $i_p+f_p=n\cdot i_m+f_t$, avec:

- $i_p$ le nombre de nœuds du réseau hexagonal contenus dans le polygone
- $f_p$ le nombre de nœuds du réseau hexagonal sur la frontière du polygone
- $n$ le nombre de mailles triangulaires constituant le polygone
- $i_m$ le nombre de nœuds du réseau hexagonal contenus dans une maille triangulaire
- $f_t$ le nombre de nœuds du réseau hexagonal sur la frontière de la triangulation

On cherche une solution unique telle que $i_p=89$ et $f_p=9$

On peut toujours assembler un nombre de maille triangulaire $n>3$ de plusieurs façons différentes donc $n\leq 3$

Or pour $n<6$ on montre que $f_p=f_t=2+n$ et donc $i_p=n\cdot i_m$

Problème: impossible par conséquent d'avoir à la fois $f_p=9$ et l'unicité de la solution ...

Salut,
Un petit indice pour orienter les recherches ?
Les côtés du polygone sont-ils parallèles à ceux de la trame hexagonale ?
Ou y a t-il un décalage angulaire entre les deux ?
Merci et bonne journée.

Je n’ai pas trop envie de dévoiler la solution , je précise simplement quelques détails techniques pour vous permettre de continuer à chercher sans vous embarrasser de calculs laborieux .

La formule de Pick s’adapte sans problème à un réseau triangulaire :

$A = F+2I-2$ ( l’unité d’aire étant fournie par le triangle ) .

Avec l’unité choisie ici : $6A=F+2I-2$ .

Une bonne idée pour commencer : compléter la grille en un maillage triangulaire .

Amusez-vous bien

Vasimolo

(un peu plus tard...)
Je suis arrivé à la conclusion qu'il n'y a pas de formule de Pick simple pour un maillage hexagonal, en tout cas pas aussi simple que pour les maillages triangulaires / orthogonaux.
On peut très facilement dessiner deux triangles, dont les sommets sont des noeuds, et qui ne contiennent aucun autre point en intérieur ou en bordure, et dont les aires seront pourtant différentes. Ex: un triangle qui prend 3 sommets consécutifs d'un hexagone vs un triangle qui prend un sommet sur deux sur le même hexagone.

J'ai l'impression que la condition sur les angles nous place dans un cas particulier et que dans ce cas précis, on pourrait sortir une formule qui ne marcherait pas pour tous les polygones.

Tout ce qui a été dit est juste , même s'il gène un peu le réseau triangulaire est utile . Il y a tout de même quelque chose d'important qui a été oublié : le polygone peut être pavé avec des triangles équilatéraux de même taille dont les sommets sont aux nœuds du réseau triangulaire .

Vasimolo

C'est ça LeJeu , bien vu

On peut s'amuser à montrer que la solution est unique mais c'est une autre paire de manches

Vasimolo

En fait l’explication est assez simple

On considère deux points du réseau triangulaire qui se suivent sur la frontière du polygone . On peut choisir ces points pour que la longueur L du segment qu’ils bornent soit minimale . Ce segment génère un unique réseau triangulaire contenu dans le premier . Comme les angles du polygone sont des multiples de 60° , ses côtés vont suivre ceux du deuxième réseau et les longueurs des côtés vont être multiples de L . On peut donc paver l’intérieur du polygone avec des triangles équilatéraux de côté L . Il faut tout de même faire attention , les sommets des triangles ne sont pas nécessairement des points du réseau hexagonal . Disons qu’il y a deux cas , soit tous les triangles ont deux sommets sur le réseau hexagonal , soit ils ont tous leurs sommets sur le réseau .

Vasimolo

Ca faisait un moment que je me demandais s'il y avait un équivalent au théorème de Pick sur un maillage hexagonal... Je vais y réfléchir tiens smile





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