Il suffit d'écrire les vitesses : J'appelle D la distance entre les 2 rives.

A t1 (1er croisement) puis à t2 (2nd croisement) :
Va = 500/t1 = (D+300)/t2           (1)
Vb = (D-500)/t1 = (2D-300)/t2    (2)

De (1) puis (2) on tire : t1/t2 = (D+300)/500 = (2D-300)/(D-500)
En simplifiant D²-200D-150000 = 1000D-150000
Donc D²-1200D=0
D(D-1200)=0
D<>0 donc D=1200.

Du coup dans (1) et (2) on tire Va=500/t1 et Vb=700/t1
Donc t1=500/Va=700/Vb
Et donc Vb/Va=7/5

Merci, sympa à chercher !

Notons x la longueur du lac en mètres.
A la première rencontre, les bateaux ont parcouru x mètres à eux deux, et à la deuxième, ils en ont parcouru 3x.
On en déduit que le moment de la deuxième rencontre arrive trois fois plus tard que le moment de la première.
A la première rencontre, le bateau parti de la rive A a parcouru 500 mètres, et à la deuxième, il en a parcouru x+300.
On en déduit donc que x+300=3×500, ce qui donne aisément x=1200.
Voilà pour la question principale.

Pour la question subsidiaire : à la première rencontre, le bateau parti de la rive B a parcouru 700 mètres, donc sa vitesse vaut 700/500=1,4 fois celle de l'autre bateau.

A eux deux, ils font 3 fois la traversée.

Je prend L la Longueur de la traversée.

En un temps  T déterminé par leur premier croisement , ils parcourent à eux deux l'équivalent de la traversée:

Le premier bateau parcours 500m et le second L-500m

Au bout du temps nT, ils se recroisent donc :

500 n +(L - 500 )n  = 3L
nL = 3L =>

Pour faire à eux deux trois fois la traversée (premier passage + nouveau croisement ) ils mettent 3 fois plus de temps.

Le premier bateau a donc parcouru 3 x 500 = 1500 m
Puisqu'il a refait 300 m après son demi tour, la rivière fait 1500-300=1200 m de large.

Le second va 7/5 fois plus vite.

1200 validé, mais bon je ne l'ai pas fait mentalement. Je vais tâcher de voir si on ne peut pas de tête à la manière des enfants de la primaire d'antan...

Bonjour,

Au croisement à l'aller, les deux bateaux ont parcouru collectivement l'équivalent d'une longueur de lac.
Au croisement du retour, les deux bateaux ont collectivement parcouru l'équivalent de trois longueurs de lac.

Or au croisement de l'aller, le bateau de la rive A a parcouru 500 mètres. Donc au croisement du retour, il aura parcouru 3 fois plus, soit 1500 mètres.

Et comme ça correspond à une longueur de lac + 300 mètres, on calcule facilement que le lac mesure 1200 mètres de long.

Pour la question subsidiaire, j'y réfléchis encore...
Klim.

[Edit] Ah ben oui, c'est tout bête : au croisement de l'aller, le bateau de la rive A a parcouru 500 mètres, tandis que le bateau de la rive B a parcouru 1200 - 500 = 700 mètres. Donc leurs vitesses sont dans un rapport 5/7.

Notons les trois inconnues:

- vA vitesse du bateau parti de A (en m/s par ex),
- vB vitesse du bateau parti de B (en m/s par ex),
- x distance entre A et B (en m),

Les deux assertions de l'énoncé donnent le système de 2 équations à 3 inconnues:
{
500 vB = (x-500) vA
(200 + x) vA = (x - 200) vB

Remarque: le triplet (vA, vB, x) est solution, alors (l.vA, l.vB, x) est solution aussi pour tout l>0 raisonnable (on ne veut pas de bateau plus rapide que la lumière), les bateaux se croiseront toujours au même endroit si leurs vitesses sont dans un même rapport, juste un peu plus tôt ou un peu plus tard.

Il s'agit donc de déterminer x et le rapport vA/vB, on peut donc se ramener à deux inconnues en posant, par exemple, vB=1.

Puis
{
x*vA = 500 + 500 vA
x(1-vA) = 200 (vA+1)

{
x*vA = 500 (vA+1)
x*vA = x-200-200 vA

{
700 (vA+1) = x
700 vA = 500

{
x = 1200
vA = 5/7

Le lac est large de 1200 m, le rapport entre les deux vitesses est 5/7, le bateau parti de B étant le plus rapide.

Bonne journée à tous

soit:
Va la vitesse du bateau qui quitte la rive A
Vb celle de l'autre bateau
D distance entre A et B
Da totale distance du bateau A
Db totale distance du bateau B

Calculons d'abord leurs vitesses.
Va=500/t
Vb=(D-500)/t

Leurs totales distances jusqu'où ils se croisent deuxieme fois.(à 300 m.de la rive B)

Da=D+300  m.
Db=2xD - 300 m.
Calculons le temps qui passe jusqu' ici.
le temps=Da/Va ou bien = Db/Vb
Alors,
(D+300)/(500/t) = (2D-300)/(D-500)/t
t(D+300)/500 = t(2D-300)/(D-500) (on supprime les 't')
(D+300)x(D-500) = 500 x (2D-300)
D^2-500D+300D-150000 = 1000D-150000
D^2 = 1200D
D=1200 m.

La relation entre les vitesses
Va=500/t
Vb=700/t
Va/Vb=500/700    5/7

Les distances parcourus pendant t1 (jusqu'au premier croisement) sont:

v1 t1 = 500
v2 t1 = L - 500

v2 / v1 = (L-500)/500

Les distances parcourus pendant t2 (jusqu'au second croisement) sont:

v1 t2 = (L-500) + 300 = L-200
v2 t2 = 500 + (L-300) = L+200

v2 / v1 = (L+200)/(L-200)


→ v2/v1 = (L-500)/500 = (L+200)/(L-200)
(L - 500) (L-200) = 500 (L + 200)
L²-700L+100.000 = 500L + 100.000
L² - 1,200 L = 0

L = 1200m   (L=0 est exclue vu que L>500m)

et v2/v1 = 7/5

Bonjour à tous,
je tente ma chance

Soit x la longueur cherchée, xA la position du bateau A et vA sa vitesse (de même pour le bateau B) :

1er tour
xA = vA * t
xB = -vB * t + x

Soit t1 le temps où les bateaux se croisent à 500m de la rive A :
donc en t1 : vA * t1 = - vB * t1 + x = 500
=> vA = 500/t1 et vB = (x-500)/t1
donc il existe k tel que vA = k * vB :
k = 500/(x-500)

2eme tour :
xA = - vA * t + 2x
xB = vB * t - x

soit t2 le temps où les bateaux se croisent à 300m de la rive B :
xA(t2) = xB(t2) = x - 300
=> vA = (x+300)/t2 et vB = (2x-300)/t2
donc il existe k tel que vA = k * vB :
k = (x+300)/(2x-300)

Comme les vitesses sont constantes, k est unique : (x+300)/(2x-300) = 500/(x-500)
D'où x² - 1200x = 0
x = 1200 mètres

pour la relation entre vA et vB on reprend notre k tq vA = k*vB : k=500/(1200-500)
donc vA = 5/7 * vB

Voilà, bon pour le minimum de calculs je suis loin du compte ...

Salut !

Soit x la distance entre les rives A et B.

Soit v1 la vitesse du bateau partant de la rive A et v2 cellle du bateau partant de la rive B.

Soit t le temps mis pour la première rencontre et t' celui de la seconde rencontre.

On a donc :

v1=500/t        v2=(x-500)/t

v1=(x-500+300)/t'=(x-200)/t'   v2=(500+x-300)/t'=(x+200)/t'

la distance totale lors de la première rencontre est x, alors que la distance totale lors de la seconde rencontre est 2x donc t'=2t.

On résout l'équation 1000t = xt - 200t <=> 1200t = xt <=> x= 1200

On a aussi v2/v1 = (700/1200) / (500/1200) = 7/5
c'est à dire v2=7/5 v1

Soient a et b les vitesses des bateaux ayant resp quitté les ports A et B
X=distance entre A et B

Premier croisement: b/(X-500)=a/500
Deuxième croisement: b/(2X-300)=a/(X+300)

On en déduit X=1200 m

b/a=7/5

Merci à tous pour votre participation. Klimrod (et d'autres) a effectivement trouvé la solution astucieuse décrite dans le livre cité dans l'énoncé.