Le bon, la brute et le truand se retrouvent pour un "duel à trois". Ils devront tirer chacun à leur tour, d'abord le truand, puis la brute, puis le bon et ainsi de suite jusqu'à ce qu'un seul d'entre eux survive. Le bon est un tireur hors pair qui atteint sa cible à tous les coups, alors que la brute et le truand n'atteignent leur cible en moyenne qu'une fois sur B pour la brute et une fois sur T pour le truand. Ces trois lascars se connaissent par cœur et savent donc l'habileté de chacun des trois protagonistes du duel. Le truand, qui a été désigné pour ouvrir les hostilités, est pour sa part un mathématicien hors pair. Il réfléchit un moment, avant de s'adresser au bon : "Je pourrais tout aussi bien tenter de t'abattre, cela ne changerait rien pour moi", et décide finalement de tirer en l'air...
Question : Quelles sont les habiletés respectives du truand et de la brute ? Autrement dit, déterminer les valeurs des entiers T et B.
Alors prenons 1 exemple. Le truand a 1/3 de toucher et la brute 1/2.
Spoiler : [Afficher le message] 1er cas : le truand commence en visant le bon :
I/ Il y parvient (1/3), il a ensuite 1/2 de se faire tuer par la brute, ça nous donne comme probabilité de gagner : La brute le rate (1/2) et lui le touche (1/3), ou la brute le rate (1/2) et lui le rate(2/3) et la brute le rate (1/2) et lui le touche (1/3), etc. Donc : 1/2*1/3 + 1/2*2/3*1/2*1/3 + 1/2*2/3*1/2*2/3*1/2*1/3... = 1/6 + 1/6*2/6 + 1/6*(2/6)² +... = 1/6/(1-2/6) = 1/4 Chance de victoire mince : 1/4 ou 9/36
II/ Il rate son coup (2/3). On peut alors logiquement supposer que la brute visera le bon, parce que si il vise le truand, peu importe le résultat de son tir, le bon le visera lui (la brute) pour réduire ses chances de mourir ! Du coup, pas le choix, si il vise le truand il meurt. Donc la brute vise le bon et 1/ le rate (1/2). Le bon tue la brute, le truand vise le bon, 1/3 de le toucher et donc de gagner, sinon il est mort (2/3)! Chance de victoire mince : 1/3 2/ le tue (1/2), alors on se retrouve dans le duel à rallonge précédent sauf que là c'est le truand qui commence, donc ses chances de gagner sont : 1/3 + 2/3*1/2*1/3 + 2/3*1/2*2/3*1/2*1/3 +... = 1/3/(1-1/3) = 1/2 Chance de victoire : 1/2 (faute de mieux...) Globalement, ces 2 issues sont équiprobables donc la probabilité de victoire est de 1/2*1/3+1/2*1/2 = 5/12, bof bof !
Résultat du cas 1 : 1/3*1/4+2/3*5/12 = 13/36
2ème cas : le truand commence en visant la brute : 1/Si il vise la brute et le tue (1/3), alors il est sûr de mourir de la main vengeresse du bon, voici qui clos la discussion ! Probabilité de victoire : 0
2/Si il le rate (2/3), alors on se retrouve dans le cas II de tout à l'heure : probabilité de victoire 5/12
Finalement, résultat du cas 2 : 1/3*0+2/3*5/12 = 10/36 (ou 5/18)
Conclusion, les meilleurs chances du truand sont de rater son premier coup
Cas général :
1er cas : le truand commence en visant le bon :
I/ Il y parvient (1/T), il a ensuite 1/B de se faire tuer par la brute, ça nous donne comme probabilité de gagner : La brute le rate (1-1/B=(B-1)/B) et lui le touche (1/T), ou la brute le rate (1-1/B) et lui le rate(1-1/T) et la brute le rate (1-1/B) et lui le touche (1/T), etc. Donc : (1-1/B)*1/T + (1-1/B)*(1-1/T)*(1-1/B)*1/T + (1-1/B)*(1-1/T)*(1-1/B)*(1-1/T)*(1-1/B)*1/T... = (B-1)/(BT) + (B-1)²(T-1)/(B²T²) + (B-1)^3(T-1)²/(B^3T^3) +... = (B-1)/(BT)/[1-(B-1)(T-1)/BT)] = (B-1)/(B+T-1) Chance de victoire : (B-1)/(B+T-1)
II/ Il rate son coup (T-1)/T. On peut alors logiquement supposer que la brute visera le bon, parce que si il vise le truand, peu importe le résultat de son tir, le bon le visera lui (la brute) pour réduire ses chances de mourir ! Du coup, pas le choix, si il vise le truand il meurt. Donc la brute vise le bon et 1/ le rate (B-1)/B. Le bon tue la brute, le truand vise le bon, 1/T de le toucher et donc de gagner, sinon il est mort (T-1)/T! Chance de victoire : 1/T 2/ le tue (1/B), alors on se retrouve dans le duel à rallonge précédent sauf que là c'est le truand qui commence, donc ses chances de gagner sont : 1/T + (T-1)/T*(B-1)/B*1/T + (T-1)²/T²*(B-1)²/B²*1/T + ... = 1/T/[1-(T-1)(B-1)/(BT)] = B/(B+T-1) Chance de victoire : B/(B+T-1) Globalement, on récupère : 1/T*(B-1)/B+1/B*B/(B+T-1) = (B-1)/(TB)+1/(B+T-1)
Résultat du cas 1 : 1/T*(B-1)/(B+T-1)+(T-1)/T*[(B-1)/(TB)+1/(B+T-1)]
2ème cas : le truand commence en visant la brute : 1/Si il vise la brute et le tue (1/T), alors il est sûr de mourir de la main vengeresse du bon, voici qui clos la discussion ! Probabilité de victoire : 0
2/Si il le rate (T-1)/T, alors on se retrouve dans le cas II de tout à l'heure : probabilité de victoire (B-1)/(TB)+1/(B+T-1)
Finalement, résultat du cas 2 : 1/T*0+(T-1)/T*[(B-1)/(TB)+1/(B+T-1)]
Il faut donc que ce soit le truand qui tire le moins bien.
3 solutions :
1) il tente de tuer la brute (autant tirer en l'air car s'il réussit, il meurt) , on oublie...
2 ) il tente de tuer le bon et il réussit. (1/T)
3 ) il tente de tuer le bon et il rate. (1-1/T)
Ces deux derniers cas doivent être équivalents.
Cas 2 : probabilité de survie : (1/B)(1-1/T) au premier échange (1/B)(1-1/B)(1-1/T)^2 au second échange ... (1/B)(1-1/T) [(1+ (1/B)(1-1/T) + (1-1/B)^2(1-1/T)^2 + (1-1/B)^3(1-1/T)^3 ....]
@golgot59 : Oui, très bon début ! N'oublie pas qu'un duelliste a toujours la possibilité de manquer volontairement son coup (tirer en l'air). Ce qui peut parfois s'avérer la meilleure stratégie.
@PrinceLeRoi : Il faut que les chances du truand soient les mêmes qu'il décide de viser le bon ou qu'il décide de tirer en l'air.
@nodgim : S'il ne tue pas le bon, la brute va s'en charger. Ce qui lui laissera des chances de remporter le duel.
@gwen : Bon début d'analyse. Je pense que tu inverses B et T pour le cas 2. Il faudrait simplifier ces formules pour y voir plus clair...
Si le truand tire en l'air, ses chances de gagner sont donc : (B-1)/(TB)+1/(B+T-1)
Si il vise le bon, elles sont de : 1/T*(B-1)/(B+T-1)+(T-1)/T*[(B-1)/(TB)+1/(B+T-1)]
Ses chances sont d'après lui les même dans les 2 cas, on égalise donc les 2 lignes, et en simplifiant on obtient :
(T-1)B²+(2-3T)B+(T-1)=0, ou encore : B²+(2-3T)/(T-1)*B+1=0
Pour que l'équation du second degré admette une ou des solutions, il faut que le discriminant soit positif. En le factorisant et en simplifiant, puisque (T-1)²>0 on trouve T(5T-4)>=0 et puisque T>0, finalement T>=4/5
Pas simple d’éviter les erreurs de calcul ! Et pourtant j'ai dû me tromper car T doit être un entier...
Si le truand tue le bon, la brute va essayer de le tuer → 1/B. Si le truand rate, la brute va essayer de tuer le bon. Soit la brute réussit. Pour que le truand meurt, le truand doit rater → (1/B)(1-1/T). Soit la brute rate. Dans ce cas, le bon va tuer la brute. Le truand doit essayer de tuer le bon et meurt s'il rate → 1-1/T
Donc (1/B)(1-1/T)+(1-1/T)=1/B+1/B(1-1/T)+(1/B(1-1/T) (1+1/B)(1-1/T)=1/B 1+1/B-1/T-1/TB=1/B 1+2/B-1/T-1/TB=0
Les seules valeurs entières que je trouve, c'est B=-3 et T=2. Ma formule de départ doit être fausse ...
@gwen : j'avais pas vu, pourquoi dis-tu que le truand doit forcément moins bien viser que la brute ?
@sydre : désolé, je ne comprends rien à tes calculs et à tes notations.
@golgot59 : tu dis que le bon va forcément choisir de tirer sur la brute. Pourquoi ? Sinon ton équation est bonne, et il n'y a rien de contradictoire dans le résultat que tu obtiens, mais il ne nous apprend pas grand-chose. Essaye d'exploiter cette équation autrement...
@sabansuresh : essaye d'abord de calculer quelle est la probabilité pour le truand de remporter un duel contre la brute s'il tire en premier
Le bon tirera sur le plus habile, j'étais resté sur mon exemple. Donc mon équation est la bonne si T>B. En effet, si j'écris que mes solutions doivent être entières, alors en testant toutes les premières, je trouve que finalement la seule qui fonctionne est T=8 qui donne B=3.
Reste à étudier si B>T... Mais je retourne me coucher
NB:dans tout le texte, les valeurs B et T sont les probas, au lieu de 1/B et 1/T.
Solution triviale T=0. Sinon: Il faut T<B, car alors, en ne tirant pas sur Bon, il se suicide, Bon tuant d'abord le plus dangereux. Donc T<B
2 scénarios: 1) le Truand loupe Bon, Bon tue Brute, Truand doit absolument tuer Bon à la seconde tentative: (1-T)T
2) Le Truand tue Bon, c'est alors un échange de tirs entre Brute (le 1er qui tire) et Truand. Les chances de Truand sont: (1-B)T+(1-B)(1-T)(1-B)T+(1-B)²(1-T)²(1-B)T+....= (1-B)T*(1+(1-B)(1-T)+(1-B)²(1-T)²+...)= (1-B)T*(1/(1-(1-B)(1-T)
Egalisons les chances du cas 1 et du cas 2
(1-B)/(1-(1-B)(1-T)=1-T avec T<B En posant b=1-B et t=1-T avec t>b b/(1-bt)=t b=t-bt² b(1+t²)=t b=t/(1+t²) b<t car 1+t²>1, donc T<B toujours.
Quelle que soit la valeur de T, il existe une valeur de B, supérieure à T, telle que l'égalité est possible. Cette valeur de B vaut 1-(1-T)/(1+(1-T)²)
Bon, si B>T alors le bon lui tirera forcément dessus lorsque ce sera son tour !
I/ Si le truand vise la brute
Si il le tue (1/T), le bon le tue dans la foulée.
Si il le manque (T-1)/T, la brute aura cette fois le choix, car il saura que le bon ne lui tirera pas dessus à son tour.
Calcul du choix de la brute :
Spoiler : [Afficher le message]
1er cas : la brute commence en visant le bon :
1/ Il y parvient (1/B), il a ensuite 1/T de se faire tuer par le truand, ça nous donne comme probabilité de gagner : le truand le rate (T-1)/T et lui le touche (1/B), ou le truand le rate (T-1)/T et lui le rate(B-1)/B et le truand le rate (T-1)/T et lui le touche (1/B), etc. Donc chance de victoire : (T-1)/(B+T-1)
2/ Il rate son coup (B-1)/B. Le bon tue le truand. La brute vise le bon et DOIT le tuer (1/B), sinon c'est la mort (B-1)/B. Ses chances de gagner sont donc : 1/B
Résultat du cas 1 : 1/B*(T-1)/(B+T-1)+(B-1)/B²
2ème cas : la brute vise d'abord le truand :
1/Si il le tue (1/B), alors il est sûr de mourir de la main vengeresse du bon, voici qui clos la discussion ! Probabilité de victoire : 0
2/Si il le rate (B-1)/B, alors on se retrouve dans le cas 2 de tout à l'heure : probabilité de victoire 1/B
Finalement, résultat du cas 2 : (B-1)/(B²)
Il faut maintenant comparer les 2 cas. Je fais la différence cas 1- cas 2:
Donc la différence est négative, la brute devrait viser le truand
3ème cas : la brute tire en l'air : Alors le bon tue le truand et la brute aura 1/B de gagner le duel suivant
La brute a donc tout intérêt à tirer en l'air elle aussi pour récupérer 1/B de gagner, qui est meilleur que (B-1)/B² puisque (B-1)/B<1
Conclusion : La brute tirera en l'air !
Et du coup le bon tuera le truand ! Finalement, si le truand vise la brute, il est mort !
II/ Si le truand vise le bon
Si il le tue (1/T), le duel sera face à la brute qui aura le premier coup. On retrouve la probabilité calculée dans le post précédent : (B-1)/(B+T-1)
Si il le rate (T-1)/T, la brute tirera en l'air (voir choix de la brute en spoiler) et le bon tuera le truand.
Conclusion, si le truand vise le bon, il a une chance de gagner, mais si il tire en l'air il est mort (car la brute fera pareil). Ce n'est donc pas possible que le truand dise au bon : "Je pourrais tout aussi bien tenter de t'abattre, cela ne changerait rien pour moi".
La seule réponse valide était donc celle du post précédent : T=4 et B=3.
@golgot59 : La solution que tu trouves dans ton premier cas n'est pas la bonne, vérifie tes calculs. Dans ton deuxième post, il est idiot pour la brute de tirer sur le truand, autant envisager pour lui de directement de tirer en l'air. Ton calcul n'a pas l'air d'être bon par la suite ce ne devrait pas être toujours négatif...
@nodgim : ta solution triviale n'est pas acceptée vu l'énoncé. J'imagine que tu as mal lu l'énoncé : après le truand, c'est à la brute de tirer.
@gwen27 : Tes calculs de proba sont bons, mis à part le fait que tu n'envisages jamais que la brute puisse tirer en l'air. Il ne reste plus qu'à résoudre les équations !
@golgot59 : Oui, bravo, tu as trouvé une solution ! Mais est-ce la seule ? Comme je te l'ai dit, tant qu'il y a 3 duellistes, il serait idiot pour la brute ou le truand de se viser l'un l'autre.
Oui Titou, en effet ce serait ridicule mais c'est justement le résultat que j'obtiens après calculs.
Et d'après la seconde partie des calculs, je montre que c'est en effet la seule solution si B>T, et que si T>B alors il n'y a pas de solution possible.
Il me reste peut-être à étudier le cas B=T. Je vais m'y pencher...
@golgot59 : Dans le cas B>T, tu écris que T-1<0 ! Tu devrais épurer tes raisonnements, les branches "I) Si le truand vise la brute" et "2eme cas Si la brute vise le truand" sont inutiles et viennent polluer la lecture...
Punaise ! Je m'étais pourtant relu 2 fois ! Ça m'énerve de laisser passer des coquilles aussi grosses !!!
Bon, OK, je vais reformuler en essayant de simplifier :
I/ T>B Le truand doit viser soit le bon, soit tirer en l'air, car si il vise la brute et qu'il le tue, alors il est mort dans la foulée.
1) le truand commence en visant le bon : On trouve : 1/T*(B-1)/(B+T-1)+(T-1)/T*[(B-1)/(TB)+1/(B+T-1)] Car si il y parvient (1/T), on trouve (B-1)/(B+T-1) Détail : Spoiler : [Afficher le message] , il a ensuite 1/B de se faire tuer par la brute, ça nous donne comme probabilité de gagner : La brute le rate (1-1/B=(B-1)/B) et lui le touche (1/T), ou la brute le rate (1-1/B) et lui le rate(1-1/T) et la brute le rate (1-1/B) et lui le touche (1/T), etc. Donc : (1-1/B)*1/T + (1-1/B)*(1-1/T)*(1-1/B)*1/T + (1-1/B)*(1-1/T)*(1-1/B)*(1-1/T)*(1-1/B)*1/T... = (B-1)/(BT) + (B-1)²(T-1)/(B²T²) + (B-1)^3(T-1)²/(B^3T^3) +... = (B-1)/(BT)/[1-(B-1)(T-1)/BT)] =(B-1)/(B+T-1)
Et si il rate son coup (T-1)/T, on trouve : (B-1)/(TB)+1/(B+T-1) Détail : Spoiler : [Afficher le message] On peut alors logiquement supposer que la brute visera le bon, parce que si il vise le truand, peu importe le résultat de son tir, le bon le visera lui (la brute) pour réduire ses chances de mourir ! Du coup, pas le choix, si il vise le truand il meurt. Donc la brute vise le bon et a/ le rate (B-1)/B. Le bon tue la brute, le truand vise le bon, 1/T de le toucher et donc de gagner, sinon il est mort (T-1)/T! Chance de victoire : 1/T b/ le tue (1/B), alors on se retrouve dans le duel à rallonge précédent sauf que là c'est le truand qui commence, donc ses chances de gagner sont : 1/T + (T-1)/T*(B-1)/B*1/T + (T-1)²/T²*(B-1)²/B²*1/T + ... = 1/T/[1-(T-1)(B-1)/(BT)] = B/(B+T-1) Chance de victoire : B/(B+T-1) Globalement, on récupère : 1/T*(B-1)/B+1/B*B/(B+T-1) = (B-1)/(TB)+1/(B+T-1)
2) le truand tire en l'air : On trouve comme au dessus si il rate son coup donc : (B-1)/(TB)+1/(B+T-1) Ses chances sont d'après lui les même dans les 2 cas, on égalise donc les 2 lignes, et en simplifiant on obtient : T=(B²-2B+1)/(B²-3B+1) En testant les valeurs entières de B on trouve comme unique couple de solution : B=3 et T=4
II/ T<B Cette fois-ci le truand doit viser le bon, car si il vise la brute et qu'il le tue, alors il est mort dans la foulée, et de même si il tire en l'air !
Le truand commence donc en visant le bon : On trouve
Si il le tue (1/T), le duel sera face à la brute qui aura le premier coup. On retrouve la probabilité calculée dans le post précédent : (B-1)/(B+T-1)
Si il le rate (T-1)/T, la brute choisira de tirer sur le bon. (Voir le calcul du choix de la brute) : Spoiler : [Afficher le message] b1) Il vise le bon Si il le tue (1/B), il se bas contre le truand qui commence. Chance de victoire : (T-1)/(B+T-1) Si il le manque (ou qu'il tire en l'air)(B-1)/B, alors le bon tue le truand et il a (1/B) de tuer le bon comme dernière chance. Chances de gagner : 1/B*(T-1)/(B+T-1)+(B-1)/B²
b2) Il tire en l'air Chances de gagner : 1/B
On compare les 2 en faisant la différence b1-b2 qui donne 1/B*[ [(T-1)(B-1)-B)] /(B+T-1) ] 1/B>0 B+T-1>0 (T-1)(B-1)-B>0 Donc b1-b2>0
La brute visera donc le bon à son tour !
Si la brute tue le bon (1/B), le duel sera à l'avantage du truand puisqu'il commence : T/(B+T-1) (voir "b" du 2eme spoiler) Si la brute le rate (B-1)/B, le truand est mort !
Les chances de gagner du truand sont donc : 1/T*(B-1)/(B+T-1)+(T-1)/T*1/B*T/(B+T-1) = (B²+T²-B-T)/[BT(B+T-1)]
Si les chances du truand sont les mêmes en visant en l'air qu'en tirant sur le bon alors : T/[B(B+T-1)] = (B²+T²-B-T)/[BT(B+T-1)] qui donne B²-B=T
Qui donnerait B=T=2... mais comme cette solution n’apparaît pas dans le cas B>T, je ne pense pas que cela convienne...
Je vois que je ne suis pas le seul à avoir galérer. J'avais fait trois hypothèses (T>B, T=B et T<B), avec dans chaque cas, différents scénarii. Mais des formules difficiles à simplifier m'ont fait abandonner.
Bravo à golgot59, qui est le seul à avoir trouvé une solution au problème. Reste à savoir si c'est la seule. Pour ce qui est de la difficulté des équations, on peut se simplifier la vie en remarquant des choses du genre :
(Tirer sur le bon <=> Tirer en l'air) <=> (Tuer le bon <=> Tirer en l'air)
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