Proposition de calcul sans tenir compte des parenthèse:

Il existe 4 puissance 5 "séquences de signes" possible pour chaque permutation de 6 nombres.

6! x (4 puissance 5) = 737280 calculs

Pour dénombrer,
Je dirai bêtement sans réfléchir : 6 *4 x5 *4 x4 *4 x3 *4 x2 *4 x1
ou 6! x 4^5 soit 720*1024 soit 737280 au maximum
( avec toutefois une réserve pratique car si on peut très bien toujours utiliser + et * il faut que / et - donnent un nombre entier positif à la fin dans le jeu et donc / n'est pas toujours utilisable...comme - d'ailleurs si le résultat est < 0... ce qui réduirait les possibilités en fonction du tirage... )

pour les parenthèses, je dirais : exactement pareil !

Pour le cas sans les parenthèses, utilisant tous les chiffres :
On a 6 choix pour le premier nombre, 5 pour le suivant etc. Soit 6! combinaisons.
On a ensuite 4 signes possibles à placer entre chaque nombre (5 fois).

6!*4^5 = 737 280 combinaisons.

Pour le cas sans les parenthèses, n'utilisant pas tous les chiffres :
Par le même raisonnement, avec 5 chiffres, on a (5 parmi 6) * 5! combinaisons. De même pour 4.

Ce qui donne :
6!*4^5 + (5 parmi 6)*5!*4^4 + (4 parmi 6)*4!*4^3 + (3 parmi 6)*3!*4^2 + (2 parmi 6)*2!*4^1 +  (1 parmi 6)*1!*4^0 = 946 686 combinaisons.

Donc, pour cette partie, bonne réponse complète de fatche2con et bonne réponse de MthS-MlndN et zikmu

merci pour l'indice...

d'après mes recherches, le nombre de façon de parentheser une expression comportant 6 nombres serait un C6 ("nombre de catalan d'ordre 6") qui se calcule de la manière suivante :

C6 =  42 façons.

Pour 5 nombres on a :

C5 = 14 façons

C4 = 5 façons

C3 = 2 façons

C2 = 1 façon

donc en integrant les résultats obtenus au-dessus (sans parenthèses), on obtient :

42*737280 calculs
14*184320 calculs
5*23040 calculs
2*1920 calculs
1*120 calculs
6 calculs

soit un total de 33 665 406 calculs.