Sauf s'il tire de préférence sur celui qui a tenté de le flinguer et dans ce cas,  le premier a sacrément intérêt à tirer en l'air.

Si T=B et que le bon choisit sa cible au hasard .

A nouveau 4 cas :

1) T tire et B aussi .
2) T tire mais pas B .
3) T ne tire pas et B tire .
4) T ne tire pas et B non plus .

Curieusement il semblerait que B n'a jamais intérêt à tirer sur le bon , c'est à dire qu'il faut retenir les formules 2) et 4) qui ne sont jamais équivalentes pour le truand .

Vasimolo

C'est plus de la logique que du calcul pour les 3/4 des cas...

S'il ne tire pas il a une chance sur 2, s'il tire il en a une sur 2 + sa survie face au premier.

Bonjour,

Après quelques heures d'effort, la seule solution possible qui permette au truand de tenir ces propos est (sauf erreur de ma part) B=3 et T=4.

Pour les courageux, détails ci-dessous :

Spoiler : [Afficher le message] On supposera pour ce problème que nos 3 héros cherchent à "gagner"(c'est-à-dire survivre) en maximisant leurs chances par leurs choix, qu'ils sont intelligents (voire mathématiciens :p) et que les morts ne tirent pas (même si dans la vidéo ça semble un peu ambiguë ...).


Le truand commence le "jeu" et 3 choix s'offrent à lui :
-Il tire sur la brute, soit il l'abat (proba 1/T) et on arrive au scénario n°1, soit il la rate (proba 1-1/T) et on arrive au scénario n°3
-Il tire sur le bon, soit il l'abat (proba 1/T) et on arrive au scénario n°2, soit il le rate (proba 1-1/T) et on arrive au scénario n°3
-Il tire en l'air et on arrive au scénario n°3 (avec proba 1, difficile de rater l'air xD)

Scénario n°1 : la brute est morte, le truand est seul face au bon et ce dernier s'apprête à tirer avec une proba 1 de tuer sa cible : le truand est condamné ! Il devra donc éviter ce scénario.
Scénario n°2 : le bon est mort, le truand est seul face à la brute, s'ensuit un duel dont les chances du truand d'en ressortir indemne sont : [latex](1-\frac{1}{B})*\sum_{n=0}^\infty ((1-\frac{1}{T})^{n}*(1-\frac{1}{B})^{n})*\frac{1}{T}[/latex]
Scénario n°3 : les 3 protagonistes sont vivants et c'est au tour du truand de "jouer" (c'est là que les choses se compliquent)


C'est au tour de la brute de "jouer" et 3 choix s'offrent à elle :
-Elle tire sur le truand, soit elle l'abat (proba 1/B) et on arrive au scénario n°3.1, soit elle le rate (proba 1-1/B) et on arrive au scénario n°3.3
-Elle tire sur le bon, soit elle l'abat (proba 1/B) et on arrive au scénario n°3.2, soit elle le rate (proba 1-1/B) et on arrive au scénario n°3.3
-Elle tire en l'air et on arrive au scénario n°3.3 (avec proba 1)

Scénario n°3.1 : le truand est mort, la brute est seule face au bon qui s'apprête à tirer avec une proba 1 de tuer sa cible : la brute est condamnée ! Elle devra donc éviter ce scénario.
Scénario n°3.2 : le bon est mort, la brute est seule face au truand, s'ensuit un duel dont les chances de la brute d'en ressortir indemne sont : [latex](1-\frac{1}{T})*\sum_{n=0}^\infty ((1-\frac{1}{B})^{n}*(1-\frac{1}{T})^{n})*\frac{1}{B}[/latex]
Scénario n°3.3 : les 3 protagonistes sont vivants et c'est au tour du bon de "jouer" (et là c'est très simple).


Le bon "joue" à son tour et 3 choix s'offrent à lui :
-Il tire sur la brute et l'abat (proba 1), le truand a une proba 1/T de survivre avant d'être tué à son tour
-Il tire sur le truand et l'abat (proba 1), la brute a une proba 1/B de survivre avant d'être tuée à son tour
-Il tire en l'air et on recommence ... sauf que le truand et la brute n'ont aucun intérêt à se tirer dessus tant que le bon est en vie (cf ci-dessus), donc ils essaieront de tirer sur le bon (s'ils ne tirent pas en l'air) et "perdre des tours" de la sorte diminue les chances de survie du bon, qui tirera donc sur quelqu'un dès qu'il en aura l'occasion.
Par ailleurs, le bon tuera la personne la plus dangereuse, à savoir le truand si T<B et la brute si B<T (si B=T on dira qu'il joue à pile ou face ^^)



Maintenant que la stratégie du bon est clairement définie, remontons légèrement notre raisonnement (si si, comme les saumons xP) pour nous intéresser à la brute :
Évidemment si la brute est seule face à un autre protagoniste elle lui tirera dessus (ça tombe sous le sens), la seule ambiguïté porte sur sa décision dans le scénario n°3, où elle doit choisir entre tirer sur le bon en espérant un duel avec le truand ou tirer en l'air et laisser le bon sceller le destin d'un de ses adversaires ... Après quelques calculs pas très droles et l'étude poussée d'une belle hyperbole, j'en ai conclus que la brute ne doit tirer en l'air que dans l'éventualité où T=2, puisque pour T>2 le truand est trop peu dangereux pour avoir besoin de laisser le bon faire le travail (par la suite nous oublierons le cas T=2 puisque cela n'amène aucune solution viable à notre problème).


A présent que la stratégie de la brute est explicite, on peut passer aux calculs à proprement parler. Le truand dit que tirer sur le bon ou en l'air reviennent au même, donc que ses chances de survie sont identiques. On en conclut que la probabilité de survie du truand dans les situations 2 et 3 sont égales, d'où :
[latex](1-\frac{1}{B}) * \sum_{n=0}^\infty ((1-\frac{1}{T})^{n}*(1-\frac{1}{B})^{n}) * \frac{1}{T} =
\frac{1}{B} * \sum_{n=0}^\infty ((1-\frac{1}{T})^{n}*(1-\frac{1}{B})^{n}) * \frac{1}{T} + (1-\frac{1}{B}) * \frac{1}{T}[/latex] si T>B
[latex](1-\frac{1}{B}) * \sum_{n=0}^\infty ((1-\frac{1}{T})^{n}*(1-\frac{1}{B})^{n}) * \frac{1}{T} =
\frac{1}{B} * \sum_{n=0}^\infty ((1-\frac{1}{T})^{n}*(1-\frac{1}{B})^{n}) * \frac{1}{T}[/latex] si T<B

En simplifiant ces égalités, on ne trouve aucune solution entière dans le second cas tandis que dans le premier on trouve B= 3 et T = 4.

Le truand touche sa cible une fois sur 4 et la brute une fois sur 3, et quelque soit sa décision (tirer sur le bon ou en l'air) les chances de survie du truand s'élèvent à 1/3 exactement ! Par contre en tirant en l'air le truand améliore les chances de survie du bon pour les passer à 1/2 (au lieu de 3/8), ce qui peut être vu comme un geste généreux de sa part ...

Bonjour à tous, et notamment à titoufred.

Pour celles et ceux qui ne me connaîtraient pas, je sévissais avec grand bonheur sur cet excellent site il y a quelques années déjà. Mais la vie faisant, je n'y suis plus actif.
Donc à celles et ceux qui m'y auraient déjà croisé par le passé : poignées des quatre mains ! Et bises à tous les autres !

Je suis tombé par hasard sur cette énigme, et comme elle me passionne d'emblée (et qu'en plus elle touche à ce qui est sans doute mon film préféré) j'ai vraiment envie de m'y coller !
Je précise que je n'ai pas regardé les réponses précédentes apportées, donc je ne suis pas à l'abri d'un gros plantage.



Alors pour commencer il me semble qu'il y a une possibilité supplémentaire à prendre en compte : chacun de nos trois tireurs peut choisir de :
- Tirer sur un des deux autres
- Tirer en l'air
- Ou bien... de se mettre une balle dans la tête non ?
Je n'ai pas encore analysé la chose, mais si je comprends bien, Tuco réfléchit (mathémathicien hors-pair hahaha mais bon hum c'est pour l'énigme ok), puis s'adresse à Blondin en arguant qu'il pourrait bien essayer de le descendre, cela ne changerait rien pour lui.


S'il est sûr de finir vivant, alors en effet il peut tirer en l'air.
Mais s'il est sûr de se faire descendre, pourquoi ne choisirait-il pas de se tirer une balle dans la caboche afin de modifier le cours des choses, juste histoire de faire chier son monde jusqu'au bout ? Si ça se trouve, Tuco, se sachant condamné, va consciemment déterminer qui sera le vainqueur !


Allez je vais réfléchir à tout cela, et vous invite à vous repencher sur le problème avec cette nouvelle info.
Je m'y colle aussi


EDIT : Dans l'énoncé, il est précisé que les trois lascars se connaissent par cœur et savent donc l'habileté de chacun des trois protagonistes du duel. Par contre, et toujours dans dans l'énoncé, seul Tuco est un mathématicien hors-pair. Doit-on considérer que c'est le cas pour les deux autres ? (franchement ne pas le considérer serait vraiment très rigolo )

Ce que je voulais dire (dans le problème qui nous concerne, enfin qui concerne Tuco surtout) c'est que quitte à savoir qu'on va y passer, rien n'empêche de se tirer une balle dans la caboche du moment qu'on sait qu'on va y passer, mathématiquement parlant. La satisfaction étant de savoir qu'on ne finira pas descendu par un des deux autres olibrius...

Je continue de réfléchir au problème