En regroupant les 10 000 nombres en 5 000 groupes de 2 nombres consécutifs, on obtient 5 000 nombres impairs (la somme ou la différence entre un nombre pair et un impair est impaire).
Puis en groupant les nombres impairs 2 par 2, on obtient 2 500 nombres pairs. En effet la somme ou la différence de deux nombres impairs est paire.
Ensuite, le résultat sera forcément pair (somme ou différence de nombres pairs).

Il est donc impossible d'obtenir un nombre impair, et a fortiori 19 !

Bonne réponse de L00ping007
gwen27: conclusion ?
Jackv: ton résultat vaut 38 et pas 19

Sur le même principe qui permet de calculer la somme des $n$ premier(s) entier(s), je remarque que 10000+1=10001, 9999+2=10001, 9998+3=10001, etc...
J'ai 5000 sommes sur le même principe qui est un nombre pair. Ces sommes peuvent donc s'annuler deux à deux et faire un total de zéro.

Le problème revient à trouver des couples d'entiers de la forme $\{i\; ; \;10001-i\}$ avec $i$ entier et $i \in [1;5000]$ qui me permettent d'avoir 19.

Si je n'utilise qu'un couple, alors un autre couple va me donner un total de 10001 ou -10001, il faut donc systématiquement utiliser un nombre de couples pair.

Selon les opérations associées au couple, je pourrai obtenir:
$$\begin{array}{l|c|c|c|c} & +\; + & -\; - & -\; + & +\; -\\ \hline\\ \{i\; ; \;10001-i\} & 10001 & -10001 & 10001-2i & 2i-10001\\ \hline\\ \{j\; ; \;10001-j\} & 10001 & -10001 & 10001-2j & 2j-10001 \end{array}$$
$2i$ et $2j$ sera toujours pair (... logique )
Et donc au final, le problème revient à trouver un nombre impair avec des nombres pairs... donc impossible!

Et en réfléchissant un peu, sans se lancer dans de grands calculs (pas comme moi quoi ) on voit bien que:
- Quand j'additionne ou soustrait deux nombres pairs, j'obtient un nombre pair
- Quand j'additionne ou soustrait deux nombres impairs, j'obtient de nouveau un nombre pair

Or j'ai ici 5000 nombres pairs et surtout 5000 nombres impairs qui vont interagir deux à deux.

Il est donc impossible de trouver 19 avec les 10000 premiers entiers!

EDIT Il semble impossible... Car apparemment certains ont trouvé une solution.

J'additionne tous les nombres qui ont un signe moins, notons M ce résultat.
19+2M=1+2+...+10000=50005000 par la formule bien connue d'où une impossibilité par parité.

Soit les lettres de l'alphabet des nombres consécutifs.

a-b = -1
(a-b)+(c-d) = -2
(a-b)-(c-d) = 0 = a-b-c+d

a-b-c+d + e-f-g+h + i-j-k+l + m-n-o+p + q-r-s+t ...= 0

Il est donc facile de trouver 0 avec un nombre multiple de 4 de nombres consécutifs.
Il n'y a plus qu'à trouver 19.
C'est très facile aussi d'y parvenir. a-b = -1 donc -a+b = 1.
Il suffit donc de modifier les signes de 19 paires de nombres consécutif dans la série = 0
Et merde, ça marche pas. A chaque permutations, j'enlève un terme -1 et ajoute un terme 1, ce qui fait +2. J'arrive donc à +38 comme Jackv.

J'ai envie de dire que ce n'est possible que pour des sommes paires.

On fait c'est pratiquement démontré:

En partant de la somme:

a-b-c+d+e-f-g+h+i-j-k+l+m-n-o+p+g-r-s+t+u-v-w+x ... =0

Si je modifie un seul signe, j'enlève un terme et le remplace par un terme de signe contraire, ce qui implique que la somme qui en résulte est toujours pair.

Solution impossible.

Bonjour,
Réponse = scarta est un sacré farceur (mais j'avoue ne pas l'avoir vu tout de suite).
Nous avons en effet exactement 5000 nombres pairs et 5000 nombres impairs que je regroupe dans chaque famille 2 à 2.
Une somme (ou différence) de 2 nombres pairs est toujours paire et une somme (ou différence) de 2 nombres impairs est aussi paire.
Conclusion = on peut mettre les signes + et - comme on veut, le résultat final sera toujours pair et ne peut donc valoir 19.
Bonne journée.
Frank

C'est impossible.
Quelque soit la configuration de "+" et de "-", la somme est paire.

ça me semble bien compliqué !

Il y a 5000 chiffres impairs, avec des + et des -, je n'aurais jamais un résultat impair.

vu qu'il y a un nombre pair de chiffre impair le résultat ne peut être qu'un nombre pair