Voici la liste de quelques nombres premiers qui sont facteurs du bonheur, (avec les exposants dans la décomposition en produit de facteurs premiers d'un exemple de nombre du bonheur correspondant)

2{1} // 5{3,1} // 7{9,3} // 11{7,1,1} // 13{4,3,1} // 17{28,19,1} // 19{9,6,3}
23{15,1,1,1} // 29{19,3,1,1} // 31{10,7,1,1} // 37{12,4,3,1} // 41{27,9,3,1}
43{57,19,3,1} // 47{31,1,1,1,1}

et last but not least pour toi Nodgim : 53{148,99,88,1}

Je n'ai pas cherché plus loin pour l'instant.

J'ai testé jusqu'au nombre premier 283 et ça marche bien. En dépit de ce que  j'ai pu dire auparavant, je pense maintenant qu'il y a tjs au moins une solution pour chaque nombre premier autre que 3....

Oui, on peut partir sur une piste que le nombre premier n n'est pas facteur de tous les premiers inférieurs, par récussrence avec 4n+1 et 4n+3 ça doit le faire, non?

Il suffit d'avoir trouvé que c'est vrai pour les premiers nb impairs, et ensuite récurrence.
Soit N nb impair. On doit lui trouver un D tel que N/D soit de la forme (3D-2)/D, et D non mulitple de 3.
Il suffit que D soit plus petit que N, et si D premier ou décomposable, c'est fini, car on peut l'accrocher à un facteur de bonheur existant.
(notons au passage que 2 étant facteur de bonheur, seuls les nombres impairs sont à vérifier)
Cependant, N n'est pas forcément de la forme 3D-2, et de plus D peut se révéler multiple de 3.
Pour obtenir D, on est obligé parfois de le mutiplier par 2, 4 ou 5, et ce sont ces multiplicateurs qui posent probl
ème. 

On est alors amené à distinguer 2 formes pour les nbs impairs:
(1) 2n*3^k-1, avec n non multiple de 3.
(2) (2n+1)*3^k-2, avec 2n+1 non mulitple de 3.
Chacune de ces 2 formes exprimant le caractère impair et non divisible par 3.

Pour (1), on est obligé de multipier par 5 au moins pour trouver D si k>1, et ce jusqu'à élimination des 3^k.
(5(2n*3¨k-1)+2)/3=5*2n*3^(k-1)-1 de la forme (1) et donc on recommence pour arriver à:
5^(k-1)*2n*3-1. Comme il ne reste qu'un seul 3, on peut multiplier par 2:
(2*(5^(k-1)*2n*3-1)+2)/3=4n*5^(k-1)=D
Le N de départ 2n*3^k-1 a été multiplié par 2*5^(k-1) pour obtenir D
(N fois ses multiples)/D=( 2n*3^k-1)*2*5^(k-1)/4n*5^(k-1)=( 2n*3^k-1)/2n
2n étant plus petit que 2n*3^k-1 de départ, on a fini.

Pour (2), on est obligé de multiplier par 4 si k>1.
(4( (2n+1)*3^k-2)+2)/3=2((4n+2)*3^(k-1)-1)
Le (4n+2)*3^(k-1)-1 étant de la forme (1), on aboutira à 4n+2, comme développé dans la 1ére partie.
Le N de départ  (2n+1)*3^k-2 a été mulitplié par 4. Le D est de la forme 2(4n+2)
4*( (2n+1)*3^k-2)/2*(4n+2)=(2n+1)*3^k-2)/(2n+1)
le 2n+1est plus petit que le N de départ c'est fini.

Oui Titoufred, sauf erreur, c'est une preuve complète.
Pour 53 par exemple: de la forme (1) soit (2*1)*3^3-1.
On arrive à 53/2 en 3 opérations (prédictible selon la méthode que j'ai décrite):
Je vais faire (53*5+2)/3, pour le résultat obtenu je fais pareil, et enfin pour le dernier résultat je fais (..*2+2)/3.

(53*5+2)/3=89
(89*5+2)/3=149
(2*149+2)/3=100
Au final, au numérateur: (53*5)(89*5)(149*2)
Au dénominateur: 89*149*100.
Reste 53/2.

97=11*3²-2
Là je multiplie par 4, puis ne restera qu'un seul 3, je termine en 1 seule opération en multipliant par 2 (prédictible selon méthode décrite)
(4*(11*3²-2)+2)/3= 4*11*3-2=2(2*11*3-1)
(2(2*11*3-1)+2)/3=4*11

Reste 97/11.

Là, si je veux continuer avec 11 (bien que je sache que 11 est facteur du bonheur par récurrence)
11=4*3-1
en une seule opération:
(2*11+2)/3=8
Reste 11/4

Bon, il faut que je recommence ma rédaction, c'était surtout pour Titoufred qui était déja bien rentré dans le sujet, je pensais qu'il pouvait dépêtrer mon charabia, force est de reconnaitre que ce n'est pas le cas.

Je vais reprendre tout ça dès que j'ai un peu de temps.

Si c'est évident, il faut juste regarder plus attentivement ce que j'ai écrit:
.....
Pour (1), on est obligé de multipier par 5 au moins pour trouver D si k>1, et ce jusqu'à élimination des 3^k.
(5(2n*3¨k-1)+2)/3=5*2n*3^(k-1)-1 de la forme (1) et donc on recommence...

Je donne la formule résultante, je n'ai pas donné les calculs intermédiaires, mais tu peux essayer, ça se fait facilement.

La seconde mouture. J'espère qu'elle sera mieux comprise.
Bonne lecture.


On note N/D le rapport entre le nombre de diviseurs du cube N d'un entier et le nb de diviseurs D de cet entier.
On cherche à savoir si on peut trouver de tels rapports entiers et lesquels (appelés aussi facteur de bonheur).

Ce rapport est le produit des (3ni+1)/(ni+1), chaque ni étant la puissance affectée à chaque nb premier de la décomposition d'un nombre donné.
Immédiatement, on voit que au numérateur, on ne peut avoir que des nombres non divisibles par 3.
S'il existe un facteur 3 au dénominateur, on ne peut obtenir de facteur de bonheur.

Les facteurs de bonheur  qu'on peut trouver ne sont jamais des multiples de 3.

Montrons qu'on peut trouver une solution pour tous les autres nombres entiers.
Pour plus de commodité, remplaçons la forme  (3ni+1)/(ni+1) par (3m-2)/m plus pratique à l'usage.

Le N/D se réécrit (3D-2)/D si un seul facteur (correspond à un nombre premier élevé à la puissance D-1).
Pour D=2 N/D=4/2=2.
Exemple: p premier (sous entendu puissance 1) D=2 et N=4.
Conséquence de ce facteur de bonheur 2 : pour un rapport b*2^j, seule une solution pour b impair est suffisante.
En effet, pour un nombre C compatible avec un facteur de bonheur F impair, il suffit de le multiplier par autant de nb premiers distincts
C---->F
C*p1*p2*....----->F*2*2....

il ne reste plus qu'à trouver une solution pour les nb impairs non divisibles par 3.

Soit N1 le nb impair pour lequel on cherche un nombre dont le rapport N/D donnera N1, facteur de bonheur.
Si N1 vaut -2 modulo 3, alors on peut tout de suite lui trouver un D1.
Exemple N1=17 N1=3D1-2 donc D1=(N1+2)/3=5
N1/D1=17/5 n'est pas facteur de bonheur. Comme N1 et D1 sont tjs premiers entre eux pour tout N1 impair, on ne peut trouver de solution directe, sauf 2.

Pour espérer trouver un facteur de bonheur, il faut passer par un produit, forcément de la forme:
(N1/D1)*(N2/D2)*(N3/D3)...dont les Di représentent les puissances +1 affectées à la décomposition en facteurs premiers d'un nombre donné.
Tous les Ni doivent être -2 modulo 3, mais ce n'est pas tjs le cas.
Si un Ni est -1[3], il faut le mulitplier par 2, mais si le Di correspondant est multiple de 3, résultat incompatible avec le but recherché, il faudra multiplier N1 par 5.
Si un Ni est -2 [3] mais que le Di correspondant est multiple de 3, résultat incompatible avec le but recherché, il faudra multiplier N1 par 4.
Exemple:
N1=11, c'est un -1 [3], on le multiplie par 2, ça fait 22, et D1 vaut: (22+2)/3=8 OK
N1=17, c'est un -1 [3], on le multiplie par 2, ça fait 34, et D1 vaut (34+2)/3=12, ne convient pas car 12 multiple de 3. On prend alors 5N1=85 et D1 vaut (25+2)/3=29.
29 convient.

La méthode pour parvenir au facteur du bonheur N1 en partant du nombre impair N1 est celle ci:
N2=a2*D1
N3=a3*D2
...
Ainsi le produit (N1/D1)*(N2/D2)*(N3/D3)...devient (a1*N1/D1) (a2*D1/D2)(a3*D2/D3)...qui donne:
N1*a1*a2*a3*.../Df  si Df est le dernier D.
On montre facilement (voir ci dessous) que Df est tjs multiple de a1*a2*a3...
Ne restera alors que N1/df, df=Df/(a1*a2*a3..) plus petit que N1.
Par récurrence, on arrivera à un df final minimal (une puissance de 2) qui sera compensée par le facteur de bonheur 2 multiplié autant de fois que nécessaire.
(N1/2^n)*2*2*2*2... n fois 2.


Démonstration de la divisibilité de Df par a1*a2*a3...

On est amené à distinguer 2 formes pour les nbs impairs:
(1) N1= 2n*3^k-1
(2) N1=(2n+1)*3^k-2
Chacune de ces 2 formes exprimant le caractère impair et non divisible par 3.

Pour (1), on est obligé de multipier N1 par 5 pour trouver D1 si k>1, et ce jusqu'à élimination des 3^k.
(5(2n*3¨k-1)+2)/3=5*2n*3^(k-1)-1=D1 de la forme (1) et donc on recommence pour arriver à:
5^(k-1)*2n*3-1. Comme il ne reste qu'un seul 3, on peut multiplier par 2:
(2*(5^(k-1)*2n*3-1)+2)/3=4n*5^(k-1)=Df
L'ensemble des a1*a2*a3... multiplicateurs de N1, D1, D2.... vaut 2*5^(k-1)
N1*a1*a2*a3.../D=( 2n*3^k-1)*2*5^(k-1)/4n*5^(k-1)=( 2n*3^k-1)/2n
2n étant plus petit que 2n*3^k-1 de départ, on a fini.

Pour (2), on est obligé de multiplier N1 par 4 si k>1.
D1=(4N1+2)/3=(4( (2n+1)*3^k-2)+2)/3=2((4n+2)*3^(k-1)-1)
Le (4n+2)*3^(k-1)-1 étant de la forme (1), on aboutira à 4n+2, comme développé dans la 1ére partie.
Le N1 de départ  (2n+1)*3^k-2 a été multiplié par 4. Le Df est de la forme 2(4n+2).
4*( (2n+1)*3^k-2)/2*(4n+2)=(2n+1)*3^k-2)/(2n+1)
le Df=2n+1est plus petit que le N1 de départ c'est fini.

J'ai essayé de résumer la construction de Nodgim : c'est moins descriptif mais ça me semble plus clair .

Je joins une image car le Latex du site est à nouveau défaillant



Sinon la question de "l'unicité" de la décomposition reste ouverte . On peut aussi regarder ce qui se passe si on remplace l'exposant 3 de la définition par un autre .

Vasimolo