Petite précision suite à la remarque de Titoufred: En regardant les petits nombres, il est évident que les isolés sont les plus nombreux. En revanche, la tendance va s'inverser pour les grands nombres. En triant les isolés/groupés 1 par 1 depuis 0, il y aura bien 1 nombre pour lequel il y aura égalité. c'est ce nombre qui est demandé.
J'espère que c'est plus clair maintenant.

Ckronikks, je ne crois pas. Je pense que tu n'as pas bien saisi l'énoncé. Je redonne des exemples d'isolés et de groupés:
13225 est un isolé (1,3 et 5 isolés)
13333 isolé (1 isolé)
13133 groupé (pas de chiffres isolés, 1 est présent 2 fois, 3 est présent 3 fois).

Pour te persuader que pour les nombres à 5 chiffres les isolés sont largement majoritaires:
15678 nombre pris au hasard: isolé.
Le 1er groupé suivant sera 16116. Soit une série de plus de 400 nombres isolés pour un groupé !
Et ce n'est pas un cas...isolé.

Bonjour,
La première idée est de faire un calcul exhaustif en partant de zéro. On peut ne traiter qu'environ 1/9ème des nombres en remarquant que la proportion d'isolés et de groupés dans une séquence du genre 1000->1999 est identique à celle de la séquence 1000->9999.
Le calcul montre que de 0 à 10^11, la proportion de groupés n'est que de 0.00826, et qu'on n'est pas sorti de l'auberge.

J'ai ensuite procédé par simulation, en générant des nombres aléatoires de 50 chiffres (pour chaque nombre, le 1er chiffre est pris égal à 1, les autres sont tirés au hasard successivement).
Pour chaque grand nombre, je calcule la proportion de groupés dans les k premiers chiffres de ce nombre, ce qui me donne 50 valeurs. j'ai généré 10^6 grans nombres, et ai obtenu 50 moyennes (pour k variant de 1 à 50).

Je trouve que la proportion de groupés passe au-dessus de 50% pour les nombres de 41 chiffres. En affinant un peu, je dirais que 5*10^40 doit être une approximation raisonnable.

Je n'ai pas trouvé de formule miracle, mais un algorithme rapide qui calcule de façon exacte (en principe) le nombre  d'isolés parmi les nombres à n chiffres.
Voici les résultats

Nombres à 40 chiffres
Nombre total  :         9000000000000000000000000000000000000000
Nombre d'isolés :       4714771207916973382037140560106496803560
Nombre de groupés :     4285228792083026617962859439893503196440
Proportion d'isolés :   5.238635E-01
Proportion de groupés : 4.761365E-01 (0.475989 pour la simulation)

Nombres à 41 chiffres
Nombre total  :         90000000000000000000000000000000000000000
Nombre d'isolés :       44374958540727402429889915556882003947569
Nombre de groupés :     45625041459272597570110084443117996052431
Proportion d'isolés :   4.930551E-01
Proportion de groupés : 5.069449E-01 (0.506805 pour la simulation)

Ajouté :
La proportion d'isolés est de 0.5016311 dans les 4*10^40 premiers nombres, et de 0.4999159 dans les 5*10^40 premiers.

Bonjour Enigmatus.
Cette enigme n'était pas facile tout de même. De plus, elle fait suite à une série serrée d'énigmes assez ardues. D'où le peu d'engouement suscité, j'imagine un peu de lassitude générale. Une approche informatique ne s'avère pas plus facile, compte tenu de la taille du nombre en jeu....

Comment dénombrer les isolés des groupés sans faire de redondance ?
Dans le cas général, pour un nombre à n chiffres écrits en base b, il y a b^n nombres possibles. Avec un chiffre isolé, il y a:
n*(b-1)^(n-1) nombres.
n est l'emplacement du chiffre isolé. Il ne doit plus apparaitre dans les n-1 autres chiffres, d'où le (b-1)^(n-1).
Comme on peut trouver b isolés, le nombre de solutions est:
b*n*(b-1)^(n-1).
Cependant, dans ce calcul, les paires d'isolés sont comptées 2 fois, il faut les ôter:
-n(n-1)*b(b-1)/2*(b-2)^(n-2).
Ici, on ôte en trop les triplets d'isolés, il faut donc les rajouter:
+n(n-1)(n-2)*b(b-1)(b-2)/6*(b-3)¨(n-3)
Etc...

La formule générale est donc:
S=-(-1)^k*A(n,k)*C(b,k)*(b-k)^(n-k) pour 0<k<b

il reste tout de même à ôter les isolés comptés indûment, ceux qui ont un zéro isolé en 1er chiffre. La formule est construite sur le même principe.
S0= (b-1)^(n-1)+(-1)^k*A(n-1,k)*C(b-1,k)*(b-k-1)^(n-k-1) pour 0<k<b-1.

Le résultat final est donc S-S0

NB: le S0 corrige assez peu le S. On est de l'ordre du 10^-3.
L'approximation du S est déja bonne pour les 4 premières sommes.

Enigmatus, je n'ai pas de grosse machine de calcul, peut être pourras tu vérifier le nombre exact avec 40 et 41 chiffres ?

Il y a manifestement un problème avec le S0. Il faut que je regarde ça de plus près.

Voici nos résultats respectifs pour 40, 41 et 42 chiffres

enigmatus

Nombres à                                              40 chiffres                             1 à 40 chiffres
Nombre total  :           9000000000000000000000000000000000000000   10000000000000000000000000000000000000000
Nombre d'isolés :         4714771207916973382037140560106496803560    5273590662713314863104981634891590745124
Nombre de groupés :       4285228792083026617962859439893503196440    4726409337286685136895018365108409254876
Proportion d'isolés :                                 5.238635E-01                                5.273591E-01
Proportion de groupés :                               4.761365E-01                                4.726409E-01

Nombres à                                              41 chiffres                             1 à 41 chiffres
Nombre total  :          90000000000000000000000000000000000000000  100000000000000000000000000000000000000000
Nombre d'isolés :        44374958540727402429889915556882003947569   49648549203440717292994897191773594692693
Nombre de groupés :      45625041459272597570110084443117996052431   50351450796559282707005102808226405307307
Proportion d'isolés :                                 4.930551E-01                                4.964855E-01
Proportion de groupés :                               5.069449E-01                                5.035145E-01

Nombres à                                              42 chiffres                             1 à 42 chiffres
Nombre total  :         900000000000000000000000000000000000000000 1000000000000000000000000000000000000000000
Nombre d'isolés :       416723236793582247561919165552265115121866  466371785997022964854914062744038709814559
Nombre de groupés :     483276763206417752438080834447734884878134  533628214002977035145085937255961290185441
Proportion d'isolés :                                 4.630258E-01                                4.663718E-01
Proportion de groupés :                               5.369742E-01                                5.336282E-01

nodgim

n= 40 S=   5238634675463303757819045066784996448400 S0=    125039179869707328709343522062729076496 S-S0=   5113595495593596429109701544722267371904
n= 41 S=  49305509489697113810988795063202226608410 S0=   1129648359082137953921346809290480874568 S-S0=  48175861130614975857067448253911745733842
n= 42 S= 463025818659535830624354628391405683468740 S0=  10203477309810638539419247870618198933128 S-S0= 452822341349725192084935380520787484535612

Je suppose que ce que tu appelles S40 est la valeur de S pour n=40. Qu'est-il censé représenter exactement ?

Dans tous mes calculs, à part le nombre zéro, je n'ai aucun nombre qui commence par le chiffre zéro.

Édité :
Si je calcule le nombre d'isolés pour les nombres à n chiffres, ces nombres pouvant commencer par un nombre quelconque de zéros, je retrouve tes valeurs de S.