Enigme L'orfèvre maladroit [+Remarque][+Indice] 1/2 @ Prise2Tete

Promath- · #1

Salut à tous Une petite énigme!

Un orfèvre dispose d'une pépite d'or de 22 grammes. Il souhaite la tailler d'une façon optimale. Il commence sa taille mais se rend vite compte que son outil, inadéquat, brûle l'or. C'est alors qu'il est contrait de jeter un certain nombre de cailloux brûlés, de masse 3g chacun. Il se retrouve donc avec un morceau de masse inférieure. Dans un élan de maladresse, il brise ce morceau en deux morceaux de masses entières. Il les présente finalement à ses clients, qui lui achètent 29393 euros les deux morceaux taillés.

Sachant que le prix d'un morceau taillé est proportionnel au cube de la masse, et que le prix serait entier pour un morceau de 1g, quelle est la masse des deux morceaux taillés vendus?

Bonne chance!

Remarque: Spoiler : [Afficher le message]

Indice: Spoiler : [Afficher le message] a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab)

gwen27 · #2

La solution n'est pas unique ...
9 et 10 g 1729 17/g
1 et 12 g 1729 17/g
2 et 5 g 133 221/g
3 et 4 g 91 323/g

papiauche · #3

Je dirais 7 g.

29393=7*13*323

Edit

Je cherche a et b entiers tels que

a^3+b^3= un produit quelconque des diviseurs
22-a-b multiple de 3

Après Wolfram est mon ami.

Au prix de 323 brouzoufs le g.

(4^3+3^3)= 91
22-4-3=15 multiple de 3

Promath- · #4

gwen27: Bien! Peux tu détailler ton raisonnement?

papiauche: Ta solution est incomplète. Il manque aussi le raisonnement... Continue!

NickoGecko · #5

Bonjour

Le cours du gramme d'or 24K est d'environ 55€ à tout hasard ... donc moins élevé pour une pépite ?

29393 = 7 x 13 x 17 x 19

et les morceaux sont de masses entières, le prix au gramme est donc un des facteurs premiers de la décomposition de 29393

et on cherche une somme de deux cubes d'entiers valant
hypothèse 7€/g : 4199
hypothèse 13€/g : 2261
hypothèse 17€/g : 1729
hypothèse 19€/g : 1547

Chacun des entiers est compris entre 1 et 21 et leur somme vaut 22 - 3k (k entier)

13 et 4 :
On trouve 13^3 + 4^3 = 2261, mais 13+4 = 17 et 22-17 = 5 n'est pas compatible de déchets sous forme de cailloux de 3 g

12 et 1 :
12^3 + 1^3 = 1729; 12+1=13 et 22-13 = 9 soit 3 cailloux de 3 g
ce couple fonctionne pour 17€/g

10 et 9 :
10^3 + 9^3 = 1729, 10+9=19 et 22-19 = 3
ce couple fonctionne pour 17€/g

11 et 6 :
11^3 + 6^3 = 1547, 11+6=17 mais 22-17 = 5 hypothèse rejetée

Je ne sais pas si il y a une solution plus élégante pour trouver ces couples que Excel

De la rédaction de l'énoncé, il semble qu'il faille discriminer la solution (12;1) de (10;9) pour trouver une solution unique.

Si on considère que le "certain nombre de cailloux brûlés" est donc >1, dans cas c'est la solution "12 g et 1 g" qui reste.

Merci,
A bientôt

Promath- · #6

Nicko Gecko: c'es déjà plus complet, mais tu apportes une réponse partielle! Il te manque des élements! D'ailleurs, on parle d'un certain nombre de cailloux, 1 inclus

Sydre · #7

A première vue je trouve 4 solutions :

3 et 4 grammes, 5 pierres perdues et un rapport de proportionnalité de 323
2 et 5 grammes, 5 pierres perdues et un rapport de proportionnalité de 221
1 et 12 grammes, 3 pierres perdues et un rapport de proportionnalité de 17
9 et 10 grammes, 1 pierre perdue et un rapport de proportionnalité de 17

Je suis passé à coté de quelque chose ?

nodgim · #8

29393=7*13*17*19.
Donc la somme des 2 cubes doit être impaire, et donc aussi la somme des 2 masses.
22-3k donne comme résultats impairs 19,13,7,1. On élimine 1 puisque les 2 masses sont entières.
On regarde la décompo en somme de 19,13 et 7, et pour chacune d'elles la somme des cubes (au tableur c'est très rapide)

On obtient 4 résultats possibles
29393=
17(9^3+10^3)
17(1^3+12^3)
323(3^3+4^3)
221(2^3+5^3)

Vasimolo · #9

Je ne suis pas sûr d'avoir compris le problème , en tout cas je trouve plusieurs solutions .

Si on note x et y la masse des deux morceaux x^3+y^3 doit être un diviseur de 29 393=7.13.17.19 , donc x+y aussi , ce qui nous laisse trois possibilités pour x+y : 7 , 13 ou 19 . Après il suffit d'essayer les différents cas , il y en a quatre qui marchent {2;5},{3;4},{1;12} et {9,10} .

Vasimolo

Promath- · #10

Sydre: Non tu as raison il y a plusieurs solutions. Une démarche de résolution ou Wolfram est ton ami?

Nodgim: C'est ça! Ton début de raisonnement est bon! As tu une méthode sans tableur?

Vasimolo: C'est cela! Comment "essaies" tu les différents cas? A la main?

Vasimolo · #11

Je ne suis pas fou à ce point , j'ai une petite calculatrice collège qui fait bien l'affaire . Avec les contraintes sur x et y il y a 18 cas à tester et dans chaque cas il suffit de regarder si x^3+y^3 divise 29 393 : c'est quasiment instantané .

Vasimolo

SabanSuresh · #12

29393 = 7*13*17*19.
29393/7 = 4199, 29393/13 = 2261, 29393/17 = 1729, 29393/19 = 1547,
29393/(7*13) = 323, 29393/(7*17) = 247, 29393/(7*19) = 221,
29393/(13*17) = 133, 29393/(13*19) = 119, 29393/(17*19) = 91,
29393/(7*13*17) = 19, 29393/(7*13*19) = 17, 29393/(13*17*19) = 7,

Le prix d'un morceau de 1g est proportionnel à 1 et est entier. Donc tout morceau d'une masse entière correspond à un prix entier. Et le coefficient de proportionnalité doit être un des diviseurs ci-dessus ou le produit de certains d'entre eux.

Soient n, le nombre de morceaux de 3g perdus, m1, la masse inférieure suite à la première partie : m1 = m0-3*n), mA, la masse du premier morceau, mB, la masse du deuxième morceau (avec mA<mB) et c, le coefficient de proportionnalité.

On doit donc trouver les différents quintuplets {n, m1, mA, mB, c} solutions.

Cas 1 : Je commence par le plus connu : c=17 et (mA)^3 + (mB)^3 = 1729, fameux nombre de Hardy-Ramanujan.

1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3
1+12 = 13 et 9+10 = 19. Or 19 = 22-1*3 et 13=22-3*3.

On a donc les quintuplets suivants :
(1, 19, 9, 10, 17)
(3, 13, 1, 12, 17)

Cas 2 : c=7 et (mA)^3 + (mB)^3 = 4199
Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.

Cas 3 : c=13 et (mA)^3 + (mB)^3 = 2261
2261 = 4^3 + 13^3. Mais 4+13=17 et n n'est pas entier.

Cas 4 : c=19 et (mA)^3 + (mB)^3 = 1547
1547 = 6^3 + 11^3. Mais 6+11=17 et n n'est pas entier.

Cas 5 : c=7*13 et (mA)^3 + (mB)^3 = 323
Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.

Cas 6 : c=7*17 et (mA)^3 + (mB)^3 = 247
Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.

Cas 7 : c=7*19 et (mA)^3 + (mB)^3 = 221
Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.

Cas 8 : c=13*17 et (mA)^3 + (mB)^3 = 133
133 = 2^3 + 5^3
2+5 = 7. Or 7 = 22-5*3

On a donc le quintuplet suivant :
(5, 7, 2, 5, 221)

Cas 9 : c=13*19 et (mA)^3 + (mB)^3 = 119
Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.

Cas 10 : c=17*19 et (mA)^3 + (mB)^3 = 91
91 = 3^3 + 4^3
3+4 = 7. Or 7 = 22-5*3

On a donc le quintuplet suivant :
(5, 7, 3, 4, 323)

Cas 11 : c=7*13*17 et (mA)^3 + (mB)^3 = 19
Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.
Je précise positifs car 19 = 3^3 + (-2)^3.

Cas 12 : c=7*13*19 et (mA)^3 + (mB)^3 = 17
Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.

Cas 13 : c=13*17*19 et (mA)^3 + (mB)^3 = 7
Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.
Je précise positifs car 7 = 2^3 + (-1)^3.

SOLUTIONS :

On a donc quatres solutions :
(1, 19, 9, 10, 17) - (9,10)
(3, 13, 1, 12, 17) - (1,12)
(5, 7, 2, 5, 221) - (2,5)
(5, 7, 3, 4, 323) - (3,4)

Ouf ! J'espère au moins que c'est bon ....

Promath- · #13

Vasimolo: c'est très bien, quand je disais "à la main" c'était sans logiciel de calcul

SabanSuresh: C'est excellent! Quand tu dis "Il n'existe pas de mA et de mB entiers positifs tels que l'égalité ci-dessus soit vérifiée.", tu vérifies ça à la calculatrice en testant différents cas ou arithmétiquement?

SabanSuresh · #14

Comme je ne sais pas le faire arithmétiquement, j'ai fais la liste des 16 premiers cubes (17^3 = 4913 et 4913 > 4199), et puis je regarde si la différence entre ce que je dois trouver ( (mA)^3 + (mB)^3) et chacun de ces cubes est un cube ou non. A partir d'un moment ça va relativement vite puisqu(on trouve des différences négatives.

Par contre, je vais attendre la solution des autres pour voir si on pouvait le faire arithmétiquement.

Edit : En écrivant ce post, je me suis rappelé que je connaissais bien l'identité remarquable a^3 + b^3 = (a+b)(a²-ab+b²) mais je savais pas comment l'appliquer ...

Promath- · #15

SabanSuresh: c'est très bien comme ça

Promath- · #16

Une partie des personnes a fait le problème à l'ordinateur, une autre à la calculatrice en testant au moins une douzaine de combinaisons. Il existe une méthode sans calculatrice, si peu qu'on puisse extraire à la main les diviseurs de 29393. Cette méthode est de longueur moyenne et ne requiert aucun calcul poussé. Il faut simplifier une expression qui nous fait aller très vite vers la solution.

Sydre · #17

J'ai procédé de la façon suivante :

Soient m1 et m2 les masses recherchées

Alors l'énoncé est équivalent à (1) 29393=k*(m1^3+m2^3) avec k entier naturel et (2) 22-(m1+m2) est multiple de 3

La décomposition en facteurs premiers de 29393 est 7*13*17*19

On cherche donc les sous produits qui peuvent s'écrire comme somme de cubes parfaits et qui par conséquent explicitent (1) :

7*13=3^3+4^3 et 22-(3+4)=15=3*5
7*19=2^3+5^3 et 22-(2+5)=15=3*5
7*13*17=6^3+11^3 mais 22-(6+11)=5 n'est pas multiple de 3
7*13*19=1^3+12^3 et 22-(1+12)=9=3*3
7*13*19=9^3+10^3 et 22-(1+12)=9=3*3
7*17*19=4^3+13^3 mais 22-(4+13)=5 n'est pas multiple de 3

On élimine les sous produits qui ne vérifient pas (2) et on en déduit les solutions :

3 et 4 grammes, 5 pierres perdues et un rapport de proportionnalité de 323
2 et 5 grammes, 5 pierres perdues et un rapport de proportionnalité de 221
1 et 12 grammes, 3 pierres perdues et un rapport de proportionnalité de 17
9 et 10 grammes, 1 pierre perdue et un rapport de proportionnalité de 17

Promath- · #18

Sydre: C'est bien mais comment trouves tu les sous produits égaux à des sommes de cube? En testant des sommes de cube?

enigmatus · #19

Bonjour,

Code:

Prix du gramme   Masses des 2 morceaux
 17 euros          1 g   12 g
 17 euros          9 g   10 g
221 euros          2 g    5 g
323 euros          3 g    4 g

(calculé en python)

nodgim · #20

Il existe en effet une méthode purement arithmétique.
On décompose 29393=7*13*17*19. ça se fait à la main.
Le poids des 2 cubes est donc impair. Or la somme de 2 cubes est impaire si la somme des nombres est aussi impaire.
Il faut donc chercher une somme de 2 masses impaire.
Le poids de ces 2 masses restantes fait 22-3k=19,13 ou 7 sont les seuls résultats impairs.

Par ailleurs, la somme de 2 cubes dont la somme n des 2 nombres est constante se modélise:
x^3+(n-x^3)=n(n²-3nx+3x²). Au passage on en déduit qu'une somme de 2 cubes n'est jamais un nombre premier !
la somme des cubes est donc un multiple de n, avec n=19 13 ou 7.
Donc 17 est à exclure comme facteur dans la somme des cubes.
29393=17*k*(somme des cubes).
1729=k*(somme des cubes)
La somme des cubes se trouve donc parmi les diviseurs de 1729 soit:
7 13 19 91 133 247 1729
7 13 19 étant premiers ne sont pas somme de cubes.
De tête 91=4^3+3^3 et 133=2^3+5^3.
247 n'est pas une somme de cube.

Reste 1729. 1^3 + 6^3 est trop petit on exclut pour n=7.
Reste à regarder pour n=19 et n=13.
A noter q'une somme de cubes dont la somme des nombres est constante ne donne que des cubes différents. Il n'y a donc au mieux qu'une seule solution pour n=19 et n=13

Pour trouver cette éventuelle solution:
1729=n(n²-3nx+3x²)
si n=19
1729/19=19²-3*19x+3x²
3x²-3*19x+270=0
x²-19x+90=0 donne x=(19+-1)/2=(9,10)

si n=13
1729/13=13²-3*13x+3x²
3x²-3*13x+36=0
x²-13x+12=0
x=1 est solution évidente--->(1,12)

Au final, 4 solutions:
323(3^3+4^3)
221(2^3+5^3)
17(9^3+10^3)
17(1^3+12^3)

halloduda · #21

Il y a peut-être d'autres réponses, mais celle-ci est simple :
On remarque que 91=7*13=64*27 = 4^3+3^3
Et 29393=7*13*17*19

Il vient immédiatement m1=4 g et m2= 3 g après avoir retiré 5*3 g de 22 g.

Le prix du gramme est 17*19=323 euros
Le prix du morceau 1 est 323*64=20 672 €
Le prix du morceau 2 est 323*27= 8 721 €
La somme est bien 29383 €

EDIT suite à remarque de Promath

on a aussi 1 et 12 1^3+12^3=1729 = 29393/17
2 et 5 2^3+5^3=133 = 29393/221=29393/19/7
9 et 10 9^3+10^3=1728 = 29393/17

reEDIT
méthode
a+b vaut 22-3k et divise 29393 car divise a³+b³
a+b ne peut valoir que 7, 13 ou19.

gwen27 · #22

En dehors du fait que a^3+b^3 soit une multiple de a+b, ( ce qui limite à 19 13 et 7 c'est plus rapide de tester toutes les possibilités restantes.

Promath- · #23

enigmatus: C'est ok! Et sans python?

nodgim: C'est excellent, tout y est, la méthode est très bonne, et légèrement différente de la mienne! Bravo!

halloluda: C'est un bon début, mais tu n'as qu'un quart de la solution

gwen: bonne remarque, tu peux partir de là pour résoudre tout manuellement Mais pourquoi ne peut-il pas être multiple de l'autre facteur premier?

gwen27 · #24

Tu peux atteindre 17 à partir de 22, toi ?

Promath- · #25

Eh bien, bien sûr que non, mais tu confonds condition nécessaire et suffisante
12^3+7^3 est multiple de 109, alors qu'il n'est pas "atteignable"! Tu as oublié de préciser quelque chose donc, ou j'ai raté un étage...

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