Pour x suffisamment grand, (x+5)(x-5) est proche de x^2

Donc pour x assez grand, x^2 est proche de 8n!

(autrement dit racine (25 +8n!) est très proche de racine (8n!)

racine (8n!) est plus petit que rac(8) n!/2 soit 1,41 n environ

entre 1.41 n et 8 n  on trouve 2,82 et 5,64 soit deux intervalles qui doublent et donc un nombre premier dans chaque.

Ces nombres premiers seront compris dans la factorielle mais ne peuvent pas être obtenus avec x+5 ou x-5

Exemple : avec 6! déjà :

8*6! = 5760

Sa racine serait voisine de 76. x+5 et x-5 seraient donc du même ordre.

Or, dans la factorielle , plein de nombre premiers entre 81 et 5760 interviennent.

@Gwen: je n'ai pas encore bien saisi ta démarche, mais ce ne sont pas que les nombres premiers qui "équilibrent" les 2 facteurs x+5 et x-5, mais tous les facteurs de 8n!. On ne peut pas préjuger, selon la taille de 8n!, quel est l'écart min entre les 2 facteurs les plus proches de la racine carrée. On sait qu'on peut avoir un écart relatif qui tend vers 0, et que, à contrario, statistiquement, l'écart absolu grandit, mais on ne connait pas les exceptions, celles qui pourraient coïncider juste avec (x+5)(x-5). Et cette exception, on ne peut pas l'écarter.

Comprends toujours pas.

Je sais que dans les facteurs éventuels (x-5)(x+5) qui partagent 8n!:
Les 2 facteurs étant pairs, l'un contient toutes les puissances de 2 sauf 1, et l'autre ne contient qu'une seule fois 2. les puissances de 5 sont partagées de la même façon.
Pour toutes les autres puissances de facteur premier, elles se trouvent toutes dans l'un ou l'autre des facteurs x-5 ou x+5, jamais partagées dans les 2 facteurs. Par exemple, toutes les puissances de 7 sont dans x-5.

Cela dit, même avec ces restrictions, comment peux tu être assuré qu'on ne peut jamais avoir un tel résultat ?

20!=(2^18)*(3^8)*(5*4)*7²*11*13*17*19.
Un partage possible (sans préjuger du résultat bien entendu)
x-5=(2^17)*5
x+5=2*(5^3)*7²*11*13*17

C'est faux bien sûr mais c'est juste pour montrer un partage possible. 
Plus la factorielle est grande, plus il y a de combis possibles.
Pourquoi l'une d'entre elles ne donnerait pas le bon résultat ?