Je ne comprends pas bien. Si Mr Rouge choisit d'ajouter la somme M préalablement définie sur la table, c'est parce qu'il sait que la couleur de la boule dont il a pris secrètement connaissance lui est favorable, sinon il ne le ferait pas. Dans ce cas, à chaque fois que Mr Rouge ajoute cette somme M, l'intérêt de Mr Bleu est d'abandonner et inversement.

Ce n'est pas faux. Mr Rouge peut effectivement bluffer. Je réfléchis et je reviendrai.

Oui. Il peut alors :

- miser
      * pour tenter d'augmenter son gain quand il a une boule gagnante (valorisation)
      * tenter de faire abandonner son adversaire quand il est perdant : (mise en bluff)
- ne pas miser

Comme il a l'option de ne pas miser, on voit que cette option a une valeur positive au sens large. Mais a elle de la valeur ?

J'en ai profité pour essayer de clarifier l’énoncé : est ce mieux ?

@Nodgim
Au risque de dire moi même une bêtise, ce n'est pas validé car ce n'est pas juste...

Juste deux remarques :

-Le problème est plus complexe et nécessite en premier lieu la compréhension/résolution de la stratégie optimale des 2 joueurs.

Une petite piste : la stratégie des 2 joueurs est optimale si aucun des joueurs ne peut modifier sa stratégie de façon avantageuse par rapport à cette situation optimale d'équilibre.

- le gain / la perte et égale à ce que le joueur récupère moins ce qu'il a misé (ce qui ne semble pas correspondre à ta formule même si je ne comprends pas bien ce qu'elle signifie). C'est un jeu à somme nulle.

* Si il mise et est payé il gagne ou perds 16 suivant la boule tirée
* Si il mise mais n'est pas payé, il gagne 10 quelle que soit la boule tirée
* S'il ne mise pas, il gagne ou perd 10 suivant la boule tirée

@Franky1103
plutôt bien raisonné...après la première hypothèse comme tu l'as deviné : pourquoi une fois sur 2 ?

En effet la probabilité optimale de bluff est variable. Par exemple : si la probabilité P=0, alors la fréquence de bluff optimale est trivialement 0. A l'inverse, si P=99% on voit bien qu'il peut bluffer 100% du temps sans qu'il ne puisse être rentable à son ami de suivre...La vérité est entre les 2...mais pas forcément au milieu, et a priori variable....

Si tu commences par déterminer les probabilités de bluff et de "suivi" en fonction de M et P tu pourras facilement conclure...

Si la méthode ne t’apparaît pas spontanément, je pense qu'une petite recherche sur les équilibres de Nash devrait aider...google est ton ami...

J'ai lu quelques articles intéressants sur l'équilibre de Nash, très utile en théorie des jeux. Mais je n'arrive même pas à construire la matrice du jeu entre Mr Rouge et Mr Bleu.

La methode est simple :

Il faut commencer par mettre en inconnues ( B et S par exemple) les probas respectives  de bluffer et de suivre de nos amis pour construire le gain de Mr Rouge.(opposé à celui de Mr. Bleu )

A l'équilibre, aucun ne peut modifier sa proba de façon gagnante. Quelle implication en terme de dérivées partielles ?

Avec ca vous devriez pouvoir conclure facilement...

On appelle S la probabilité de suivre pour M. Bleu lorsque M. Rouge mise.

M. Bleu a intérêt à suivre suffisamment souvent pour qu'un bluff de M. Rouge devienne inefficace, mais pas trop car sinon il va perdre de l'argent lorsque M. Rouge mise pour valeur. A l'équilibre stratégique, rien ne doit changer quant à l'espérance de gain, que M. Rouge bluffe ou pas (sinon M. Rouge aurait intérêt a changer sa part de bluff).

Lorsqu'une boule bleue est tirée :
Si M. Rouge bluffe, son espérance de gain est égale à (1-S)10-S(10+M)
S'il ne bluffe pas, son espérance de gain est égale à -10
La résolution de l'équation (1-S)10-S(10+M)=-10 donne S=20/(20+M)

Dès lors, l'espérance de gain de M. Rouge sur une partie est égale à PS(10+M)+P(1-S)10-(1-P)10, ce qui donne après simplification P(MS+20)-10.

Si le jeu est équitable , on en déduit que P=10/(MS+20) et puisque S=20/(20+M), alors P=(20+M)/(40+4M)

Pour M=6, on trouve P=13/32=40,625%.

Oui Franky, on peut ajouter que pour P>1/2 et P<1/4, la solution trouvée pour M est négative, ce qui ne fournit pas une solution acceptable dans le contexte du problème.

Remarque : Quoique, pour P<=1/4, le jeu pourrait être rendu équitable si l'on autorisait une mise négative à M. Rouge, la mise devant alors être égale à (20P-10)/(1-P). Cette mise négative étant alors interprétée comme la possibilité de reprendre de l'argent mis au milieu.

J'ai un peu modifié mes explications,  je ne sais pas si c'est plus clair. Sur quelle partie y a-t-il besoin d'eclaircissements ?

@Vasimolo : c'est ça mais tu peux simplifier ton arbre. Si la boule tirée est rouge, M. Rouge ne peut que miser, ne pas miser serait stupide. Et si la boule est bleue et que M. Rouge ne bluffe pas alors, M. Bleu gagne automatiquement.

Un autre problème dans ton arbre, @vasimolo : dans le cas ou il n'y a pas de mise, il ne s'agit pas pour le deuxième joueur de suivre ou pas... On donne juste le pot au gagnant.

Quand pas de mise, le jeu s’arrête avec gain pour le Mr Bleu si boule bleue,gain pour  Mr Rouge si boule rouge : pas de bluff, juste le meilleur gagne...

En pratique ,comme il mise toujours quand il a la bonne boule, ce cas ne s'applique effectivement que quand il perd