Bonjour Nodgim

On montre facilement par récurrence que [latex]V_n=403+3n[/latex] . Donc [latex]\frac{V_n}{U_n}=3+\frac{97}{n+101}[/latex] . La fraction se simplifie donc chaque fois que [latex]n\equiv 93 \text{[Mod 97]}[/latex] .

Je n'ai pas réfléchi au cas général .

Vasimolo

@Vasimolo: oui. La généralisation est à peine plus compliquée, mais il faudra tout de même faire autre chose que de la récurrence.

@Matthieu: la première partie est impeccable, mais la conclusion est un peu hâtive, revoir.

@tous: s'il y a possiblité de réduction, qu'on l'applique et qu'on continue la suite à partir de la forme irréductible, que se passe t 'il ?

Vasimolo, je ne doute pas de la suite arithmétique, et je ne doute pas non plus que tu sais le prouver, mais ce serait mieux en le montrant. 2 ou 3 lignes suffiront.

J'ai corrigé ma petite erreur

Je vais voir maintenant le cas de la simplification :
Si la fraction se simplifie par k alors k divise r = kr' (voir l'équivalence de mon premier message)
V(n)/k = qU(n)/k + r' où r' < U(n)/k
Le quotient q de la division ne change pas, V(n) est incrémenté toujours de la même manière. r sera rapidement réduit à 1, la suite sera ensuite irréductible et sa limite reste 1/q

A noter que l'ordre de simplification ne suit pas forcément l'ordre des diviseurs de r exemple : 19/34 -> 20/35 = 4/7 -> 5/8 -> 6/9 = 2/3 -> ...
La simplification par 5 est venue avant la simplification par 3
Comme les simplification on lieu pour les n = kx-Uo minimaux alors n <= k-1
On en déduit que la fraction sera totalement simplifié au moins à n = S - m où S est la somme des facteurs premiers de r et m le nombre de ces facteurs

Merci pour l'énigme

Je trouve :

V(n+1)=ent(Vn*U(n+1)/Un)

Est ce la bonne façon de démarrer?

Pour cette micro énigme, il fallait juste voir que si on pose:
Vn= k*Un + r
V(n+1)=k*Un + r + x
avec U(n+1) / V(n+1) > Un / Vn
donc U(n+1)* Vn > Un * V (n+1)
(Un + 1 ) * ( k * Un + r ) > Un * ( k * Un + r + x)
k * Un + r > x * Un
x < k + r/Un

x=k  car r/Un < 1.

La suite des fractions s'écrit alors : (U0 + n)  / (k * (U0 + n ) + r )

La suite des fractions n'est irréductible que si r = 1

Merci aux participants.