et la mienne ?

J'ai ecrit une solution (juste ? ) juste avant le message de masab..et suis impatient de savoir si elle est bonne ?

merci...C'est si simple une fois le résultat trouvé...

Par contre je ne trouve aucune "méthode" pour connaitre le minimum de divergence. (a part essayer tous les nombres à partir de 1000 jusqu'à en trouver un qui diverge par un programme type python mais il faut que j'apprenne à programmer d'abord...

Oufti pas simple...

1)
999
1818
999

33333
6666
121212
33333

2) 1, 10, 100, 1000 ,... , 10^n donnent des suites finies.
n peut être arbitrairement grand, donc je ne vois pas de plus grand nombre.

Pour les 3) et 4), je sèche pour le moment.

Par "accident" on a trouvé que 1498 diverge
on cherche avec x<=4 un nombre 1xyz qui diverge.
On a comme critère d'impossibilité le passage par un nombre à 3 chiffres et on a notre critère de divergence par ailleurs.

1xyz -->(1+x)(x+y)(y+z)  L'un de ces "facteurs doit être >=10. (ca ne peut pas être 1+x)

Cas 1: [  x+y>=10 et y+z>=10  ]
...--> (1+x)1(x+y-10)1(y+z-10) -->(2+x)(x+y-9)(x+y-9)(y+z-9)
Tous les termes sont à un chiffre   ..-->(2x+y-7) (2x+2y-18) (x+2y+z-18)
L'un de ces termes doit être à 2 chiffres
2x+y-7 impliquerait y=9
2x+2y-18 impliquerait y>=10 impossible
x+2y+z-18> impliquerait 2y+z>=24 soit [y=8 et z=8 ou 9 ] ou (y=9 et z >=6)

Cas 1, sous cas 1 : y=8
1x88 ou 1x89 à tester x=0..4 (8 cas dont aucun ne marche)

Cas 1, sous cas 2 : y=9

      ....= (2x+2)(2x)(x+z)  on doit donc avoir z>=6
Un peu lourdement ca fait à tester pour conclure sur le cas 1 :
1096 1097 1098 1099 1196 1197 1198 1199 1296 1297 1298 1299 1396 1397 1398 1399 1496 1497
Le premier qui marche est 1496.
Et on a réglé le cas 1.

Cas 2 : [  x+y<=9 et y+z>=10  ] (ce qui implique z>=5)

Cas 3 : [  x+y>=10 et y+z<=9  ] (ce qui implique y >=6 et z<=3)

Peut être peut on trouver un plus petit minimum dans ces cas. J'ai fait mon temps sur cet exercice en rédigeant je crois correctement la première partie de la recherche.

Et on a donc amélioré de 2 le résultat : 1496 est maintenant mon meilleur score.

Suites périodiques :

9 suites périodiques de période 2 :

[991, 1810, 991]
[992, 1811, 992]
[993, 1812, 993]
[994, 1813, 994]
[995, 1814, 995]
[996, 1815, 996]
[997, 1816, 997]
[998, 1817, 998]
[999, 1818, 999]

6 suites périodiques de période 3 :

[6664, 121210, 33331, 6664]
[6665, 121211, 33332, 6665]
[6666, 121212, 33333, 6666]
[6667, 121213, 33334, 6667]
[6668, 121214, 33335, 6668]
[6669, 121215, 33336, 6669]

Par permutations circulaires, on en déduit 2*9 + 3*6 = 36 entiers qui engendrent une suite périodique.
Y en a-t-il d'autres ?
Existe-il des suites périodiques de période différente de 2 et de 3 ?

Juste une remarque sur la définition du nombre suivant.
Le suivant d'un entier naturel n'a été défini que pour les entiers >=10.
Pour les entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 il n'y a pas deux chiffres consécutifs dans l'écriture de ces entiers. Mais en mathématiques en considère en général qu'une somme sur un ensemble d'indices vide est égale à 0.
On peut donc raisonnablement considérer que les nombres suivants les entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sont tous égaux à 0.
De cette façon le nombre suivant de n'importe quel entier naturel est défini.
Et 0 est l'unique point fixe de l'application "nombre suivant".

Un petit résumé sur la situation au moment de la visualisation des réponses.

D'abord un grand merci à tous les participants à ce sujet ouvert. La plupart d'entre vous ont été au dela des questions posées, avec beaucoup de réflexion sur la preuve de la divergence. Pour autant, le sujet reste ouvert pour cette preuve et également pour la liste des suites périodiques, dont on ne sait pas si elle se limite aux 99. et 666.

Je vais apporter une petite contribution sur la question de la divergence de la suite du nombre 1496, repéré comme étant le plus petit nombre à suite divergente.

A un moment donné, on observe la séquence :
99714.....puis
181685....puis à nouveau
99714....

99714.. a 2 sommes >10, donc le nombre suivant sera plus grand de 1 chiffre.
181685...,qui est le nombre suivant, idem.

Donc la suite est strictement croissante en nombre de chiffres. Elle est donc divergente.

Pour l'instant le critère de divergence n'est pas défini, l'idée brillante de Portugal n'est pas encore au point.

J'ai une autre piste.
Je conjecture que les suites convergentes qu'on peut remonter à partir d'un seul chiffre sont en nombre fini (si l'on identifie à part celles du genre a0000....000b).
Autrement dit, on doit pouvoir identifier toutes les suites convergentes. Ce qui me fait avancer ça, c'est que si on prend un nombre au hasard de plus de 5 chiffres par exemple, il y a peu de chances qu'on puisse trouver un antécédent. 
Vous pouvez essayer ce petit exercice, vous vous rendrez compte rapidement qu'on tombe toujours sur une impasse, un dernier antécédent.

Intéressant Enigmatus. Pourrais tu fournir qq exemples de ces suites périodiques ?

Les suites indiquées par enigmatus ne sont pas de vraies suites périodiques ; elles sont seulement périodiques à partir d'un certain rang !

Soit [latex]u_1=1496[/latex].
J'ai indiqué dans un message précédent que l'entier [latex]u_{32}[/latex] contient 7777 dans son écriture. Et que si on a dans un entier [latex]u_n[/latex] une séquence de r chiffres 7 consécutifs, alors dans [latex]u_{n+10}[/latex] il y a une séquence de 8r-27 chiffres 7 consécutifs.
Par suite [latex]u_{42}[/latex] contient ...77777...
[latex]u_{52}[/latex] contient ...7777777777777...
[latex]u_{62}[/latex] contient ...77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777...
etc
On voit donc qu'il existe des [latex]u_n[/latex] aussi grand que l'on veut.
La suite [latex]u_n[/latex] ne peut donc être égale à 0 à partir d'un certain rang ou être périodique à partir d'un certain rang. Toutes les valeurs [latex]u_n[/latex] de cette suite sont donc distinctes. Cela entraîne que la suite [latex]u_n[/latex] tend vers [latex]+\infty[/latex] .

"99714.. a 2 sommes >10, donc le nombre suivant sera plus grand de 1 chiffre."

J'aime beaucoup l'idée...

J'ai l'impression de ne pas être loin du critère de divergence mais pas no plus arrivé.
Je pensais que la Somme etait le "driver" de la divergence, maintenant plutôt la longueur.

En effet, la Somme peut "chuter" alors que la longueur baisse tout doucement et peut monter vite en cas de "chute de somme".

Pour conclure, il faut affiner le fait que pour que la longueur baisse il faut avoir exclusivement des petits chiffres, mais que comme ils doublent ca ne dure pas assez longtemps et on rebondit vite.

Très grossièrement, si on observe
*10101* --> *1111* -->*2222* --->*4444* --->*8888*
ca donne envie de croire que quand on est en divergence, la longueur s'acroit tous les 6 coups au maximum...

@nodgim

Effectivement ta preuve de la divergence de la suite commençant à 1496
99714.....
puis 181685....
puis à nouveau 99714....
est beaucoup plus simple que la mienne !

Je suis d'accord avec le fait que "Cependant, c'est très loin de la réalité"..sinon j'aurais donné la réponse...

...au moins , si aucun résultat clair n’apparaît sur le comportement de ces nombres et en particulier la recherche d'antécédents, ça donnera peut être un nouveau procédé cryptographique...