Bonsoir,
Un rectangle de largeur [latex]l[/latex] et de longueur [latex]L[/latex] peut être découpé en deux rectangles semblables différents [latex](l ,x)[/latex] et [latex](l,L-x)[/latex] si [latex]x*(L-x) = l*l[/latex].
Ce n'est possible que si [latex]L>2*l[/latex].

Il existe peut-être d'autres formes, je vais chercher..

Enigmatus prend beaucoup de précautions et il a raison

Nodgim et Dan s'emballent un peu vite

Vasimolo

Pour un rectangle au moins 2 fois plus long que large, il existe la solution triviale de le découper en deux rectangles  (x+1/x >=2).

Pour un rectangle moins long, je ne pense pas.

On peut toujours faire une mise en abyme et jouer avec la notion d' "infini" mais je ne pense pas que ce soit le but...

JTout d'abord la séparation ne peut pas couper le rectangle sur des côté adjacents. Sinon les deux figures n'auraient pas le même nombre de sommets  et ne pourraient donc pas être homothetiques .

Si la séparation des deux figures n'etait pas un segment parallèle à l'un des côtés du rectangle, les deux figures ainsi formé ne pouraient être  homothetiques que vues "tête beche" (par observation élémentaire) ce qui signifie quelle seraient de tailles identiques et ne pourraient donc pas répondre au problème.

Dans le cas où la séparation est un segment parallèle à l'un  des côtés du triangle on modélise l'équation d'homothétie à  partir du ratio des longueurs (sans oublier les contraintes de cohérence entre les longueurs). On obtient une équation du second degré dont le déterminant impose que la grande longueur soit supérieure à deux fois la petite longueur.

On obtient bien une solution acceptable du point de vue des contrainte dès que l'inégalité strict est respectée


Le critère recherché est donc : L>2×l

bonjour.

un rectangle de largeur a et de longueur b  avec b = ka avec k>2 peut être partagé en 2 rectangles semblables dont le rapport d'homothétie h est
[TeX]h = \frac{k + \sqrt{k^2-4}}{2}[/TeX]
un exemple avec k=3
[TeX]h = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = 2.618034 = 1 + \psi = \psi^2[/TeX]
dans ce cas  [latex]\psi[/latex] est le nombre d'or

avec k=2 le rectangle est partagé en 2 carrés égaux.

avec k = 2.1  -->  h = 1.370..

Je n'ai pas tout lu ( il y a beaucoup de monde sur l'affaire et je me disperse trop en ce moment ) .

Ce n'est pas possible si la largeur fait plus que la moitié de la longueur ????

Vasimolo

Salut




Dimension des gâteaux
Longeur=2,5 largeur

Beh non, je suis d'accord avec les autres.

On est bien d'accord qu'on n'a pas le droit d'avoir une "part Tatin" (retournée) ?

Et ma proposition elle est valide ?

Je suis à la recherche d'une solution avec un nombre finie de segments, ou une découpe courbe peut être. Je n'ai rien pour le moment.

Je n'ai pas sortie d'argument pour l'impossibilité, je suis un peut vexé d'être mis dans le groupe des |>2|

@Mathieu : j'avais bien vu ton dessin ( l'idée est bonne ) mais j'étais resté sur ton commentaire au dessus

J'ajoute un peu de temps pour la recherche .

Vasimolo

bonjour.

avec un gâteau rectangulaire de longueur L et de largeur l 
le rapport des côtés du rectangle :
[TeX]\frac{L}{l} = 1+k[/TeX]
le rapport d'homothétie est k
dans ce cas k=0.6823278... est une racine de l'équation:
[TeX]k^3 + k - 1 = 0[/TeX]
on dessine un hexagone concave à 2 marches

avec 2 côtés de plus soit 8 côtés et un rapport d'homothétie de 0.6368829170..
qui est la racine réelle de l'équation:
[TeX]k^5 + k^3 + k - 1 =0[/TeX]
on peut dessiner un octogone concave à 3 marches





et je rajoute pour être mieux compris :
[TeX] \frac{HB}{GH}=  \frac{GH}{GF}=  \frac{GF}{EF}=\frac{EF}{ED}=\frac{AE}{CD}= \frac{AB}{CH}=\frac{1}{k}[/TeX]
Aux numérateur , les côtés de la petite part , aux dénominateurs ceux de la grande part. Il y a quand même bien une similitude indirecte de rapport k . Ou je deviens fou. les transformations sont : une symétrie + une homothétie + une rotation de 90° .
Dans ce cas là , une famille de polygones concaves  de rapport d'homothétie k
avec le nombre de côtés pour chaque part  N = i + 3
k est la racine réelle de l'équation générale où tous les exposants sont impairs:
[TeX]k^i + k^{i-2} + k^{i-4} + ... + k^3 + k - 1 = 0[/TeX]
ainsi avec des parts à 12 côtés , un polynôme de degré 9 , la racine réelle est :
k = 0.6203741812.. et le rectangle mesure  a x 1.62037.. a

donc tous ces gâteaux rectangulaire ont pour largeur l = a
                                                     et pour longueur L = (1+k) x a

on revient à la figure ci dessus .
avec la longueur on peut écrire :
[TeX]k^4 + \frac{1}{k} = 1 + k[/TeX]
donne l'équation : [latex]k^5 - k^2 - k + 1 = 0[/latex]    (1)
avec la largeur on peut aussi écrire :
[latex]k^3 + k = 1[/latex]  donnant l'équation:
[latex]k^3 + k - 1 = 0[/latex]    (2)
les équations (1) & (2) ont même racine réelle k = 0.6823278038...

Bravo Golgot

Les autres ne sont pas loin de la solution , encore un petit effort .

Vasimolo