Enigme Gâteau 89 @ Prise2Tete

Vasimolo · #1

Mon pâtissier exhibe sur sa devanture une petite collection de gâteaux triangulaires dont les côtés sont des nombres entiers de centimètres , voici l’un d’eux :

Périmètre = Aire : le rêve de tous les écoliers géométrophobes .

Il prétend les avoir tous et pourtant il n’y en a pas beaucoup .

Il ajoute que l’un des gâteaux est le double d'un autre et là je ne comprends plus rien car si on double le périmètre , on quadruple l’aire .

A l’aide , il me rend chèvre

Amusez-vous bien tant que l'obscurantisme ne nous prive pas de gâteaux

Vasimolo

nodgim · #2

Salut Vasimolo,

L'égalité aire-périmètre conduit, après avoir posé l'équation et après simplification, à cette égalité a=4(b-2)/(b-4), avec a et b entiers.

b-2 et b-4 n'ayant au mieux que 2 en facteur commun, b-4 ne peut prendre que les valeurs 1,2,4 et 8.
b=5 a=12 ça marche car ça donne un triangle rectangle.
b=6 a=8 c'est le cas de l'énoncé
b=8 a=6 idem
b=12 a=5 déja vu.

Il n'y a donc que 2 solutions en tout (5,12) et (6,8)

enigmatus · #3

Bonjour,
En plus du triangle réduit à un point, j'en trouve 5, dont voici les dimensions

Code:

1) 5 12 13 A=P=30 Rectangle
2) 6  8 10 A=P=24 Rectangle
3) 6 25 29 A=P=60
4) 7 15 20 A=P=42
5) 9 10 17 A=P=36

Le 3) a effectivement une aire et un périmètres doubles de ceux du 1), mais est un triangle plus aplati.

Vasimolo · #4

@Enigmatus : bravo

@Nodgim : il t'en manque quelques-uns ( le triangle n'est pas forcément rectangle ) .

Vasimolo

nodgim · #5

Ah ben oui, je n'ai fait que les triangles rectangles...

gwen27 · #6

Pour le fun j'ai aussi 5 12 13 et 9 10 17 mais je ne trouve pas de justification mathématique, juste une équation qui m'est inabordable sauf tatonnements.

16 p = (p-2a)(p-2b)(p-2c)

kossi_tg · #7

J'en trouve 3 aux rotations de côté près pour le moment:
{6,8,10}==> P=S=24
{9,10,17}==> P=S=36
{5,12,13}==> P=S=30

Vasimolo · #8

Gwen et Kossi : il en manque 2

Vasimolo

gwen27 · #9

Une table des triangles "héroniens" me donne :

6 8 10 => 24
5 12 13 => 30
9 10 17 => 36
7 15 20 => 42
6 25 29 => 60

Vasimolo · #10

Le compte est bon Gwen

Vasimolo

kossi_tg · #11

le triplet (3,4,5) avec S=P=12 aussi en fait partie, c'est d'ailleurs la moitié du triplet (6,8,10).

Il me reste le dernier triplet à moins que ce soit (0,0,0)

Vasimolo · #12

Non Kossi

3+4+5=12 et 3*4/2=6

Vasimolo

golgot59 · #13

Salut !

Bon, j'ai trouvé en cherchant bêtement :
5 12 13
6 8 10
7 15 20
9 10 17

Je n'ai pas l'impression qu'il en reste... sans certitude !

Vasimolo · #14

Il t'en manque un Golgot et c'est celui qui donne du sens à la remarque du pâtissier

Vasimolo

nobodydy · #15

Salut

En voila déjà 1

5cm /12cm /13cm P=30cm et A=30cm2

A suivre...

Franky1103 · #16

Je trouve 5 gâteaux qui sont, par ordre croissant de périmètre ou de surface:
l'exemple: 6-8-10 / 5-12-13 / 9-10-17 / 7-15-20 / 6-25-29: le gâteau double.

golgot59 · #17

OK, 6 25 29, dont l'aire et le périmètre sont double de 5 12 13

Il a fallu que j'agrandisse mon fichier excel pour le dégoter celui là !

nobodydy · #18

et en voila 2 autres !

29cm , 25 cm et 6 cm = 60cm et 60cm2

7cm, 15 cm et 20 cm = 42cm et 42cm2

Merci

à suivre....

Promath- · #19

Dans tout triangle la surface est reliée au périmètre par la formule S=p/2*r où r est le rayon du cercle inscrit
Donc ici r=2
donc d=4 ainsi tous les côtés ont une longueur supérieure à 4
Mais selon la formule de héron on déduit rapidement que le périmètre est multiple de 4 donc que l'expression (p-2a)(p-2b)(p-2c) est multiple de 64. A partir de cela, je cherche

edit-Tous les côtés sont multiples de deux, selon héron ça peut aider... Donc on peut commencer à a=6 et voir que qui découle

Vasimolo · #20

@Franky et Golgot : oui
@Nobodydy : il en manque 1 .

Personne n'a essayé de les trouver sans machine alors que ça se fait aisément à la main avec un peu de patience .

Vasimolo

kossi_tg · #21

Ah oui, le triplet {3,4,5} ne le faisait pas, une division par 2 omise et voilà ...

Voici la liste complète :-)

Le triangle 3 est le double du 1 :-)

Vasimolo · #22

C'est bon Kossi

Vasimolo

nobodydy · #23

Oups !
Il en manque un

Alors le 9-10 et 17 cm

Et le compte est bon . J'espère

Merci pour cette decouverte
Héron héron petit patapon

Vasimolo · #24

@Promath : En effet il faut partir de la formule de Héron et raisonner sur la parité .
@Nobodydy : C'est bien , tu peux te reposer

Vasimolo

Corycos · #25

Salut

J'ai pu trouver quatre triangles dont les aires et les périmètres ont les mêmes nombres.

A- Aire = 30 cm² , les côtés: a=5 cm, b=12 cm,c=13 cm Périmètre = 30 cm.
B- Aire = 36 cm² , les côtés: a=9 cm, b=10 cm,c=17 cm Périmètre = 36 cm.
C- Aire = 42 cm² , les côtés: a=7 cm, b=15 cm,c=20 cm Périmètre = 42 cm.
D- Aire = 60 cm² , les côtés: a=6 cm, b=25 cm,c=29 cm Périmètre = 60 cm.

Le gâteau D est le double de A.

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#1 - 17-01-2015 12:06:40

gâtrau 89

#0 Pub

#2 - 17-01-2015 13:06:05

Gâteauu 89

#3 - 17-01-2015 13:11:57

Gâteau 98

Code:

#4 - 17-01-2015 18:41:02

Gâtea 89

#5 - 17-01-2015 19:04:25

gâreau 89

#6 - 17-01-2015 20:12:11

âGteau 89

#7 - 17-01-2015 20:21:13

Gâteua 89

#8 - 17-01-2015 21:39:01

Gâteau 8

#9 - 18-01-2015 08:25:37

gâtrau 89

#10 - 18-01-2015 11:55:09

Gâtea 89

#11 - 18-01-2015 13:33:57

gâyeau 89

#12 - 18-01-2015 16:02:07

Gâteau 8

#13 - 18-01-2015 18:44:27

Gtâeau 89

#14 - 18-01-2015 18:56:20

Gâteeau 89

#15 - 18-01-2015 22:20:09

Gteau 89

#16 - 18-01-2015 23:19:32

Gtâeau 89

#17 - 18-01-2015 23:34:04

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#18 - 19-01-2015 06:59:09

gâtezu 89

#19 - 19-01-2015 17:47:18

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#20 - 19-01-2015 17:47:46

Gâtea 89

#21 - 19-01-2015 18:07:45

hâteau 89

#22 - 19-01-2015 18:09:50

hâteau 89

#23 - 19-01-2015 18:24:50

Gâteau 9

#24 - 19-01-2015 18:32:15

Gââteau 89

#25 - 20-01-2015 09:25:02

Gâteau 8

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