Enigme Gâteau 140 @ Prise2Tete

Vasimolo · #1

Mon pâtissier a été confronté à deux problèmes de boîtes ces derniers jours .

Il a résolu le premier que je vous propose aujourd'hui , il cherche toujours une solution au second que je vous proposerai plus tard .

Voilà son problème

Il fait livrer certains de ses gâteaux qu'il emballe toujours dans des boîtes parallélépipédiques . Jusqu'à présent le prix à payer dépendait uniquement du volume de la boîte , mais aujourd'hui , changement de cap : le prix ne dépendra que du périmètre de la boîte ( longueur totale des arêtes ) . Il s'est donc poser une question absurde à priori : peut-il trouver un intérêt quelconque à placer une de ses boîtes déjà préparée dans une autre ?

Amusez-vous bien

Vasimolo

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message]

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message]

Indice 3 : Spoiler : [Afficher le message] (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) .

enigmatus · #2

Bonjour,
Ce n'est pas la question posée, mais si, par exemple, on regroupe 8 boîtes identiques dans un boîte de dimension double, la longueur des arêtes est divisée par 4.

Vasimolo · #3

C'est toute la difficulté du problème , quand on modifie les dimensions de la boîte le périmètre et le volume ne varient pas de la même façon .

Vasimolo

Sydre · #4

Je ne suis pas sur de voir ou tu veux en venir : rajouter une boite reviendra toujours plus cher à ton pâtissier ...

Vasimolo · #5

On néglige bien sûr le prix du carton

Tu peux garantir que le périmètre de la petite boîte est inférieur à celui de la grande ?

Vasimolo

Vasimolo · #6

J'ai ajouté un indice

Vasimolo

Ebichu · #7

Je ne connaissais pas ce que tu viens d'indiquer sur l'aire. Après, je suppose qu'il faut utiliser que (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ac), et que la grande diagonale de la petite boîte est plus petite que celle de la grande.

Je vais essayer de mettre ça au propre.

Vasimolo · #8

C'est ça , tu as tous les éléments , il n'y a plus qu'à conclure

Vasimolo

Vasimolo · #9

J'ai ajouté un deuxième indice et un peu de temps

Vasimolo

Ebichu · #10

J'ai quand même une question : tu supposes de manière implicite que les boîtes sont des parallélépipèdes rectangles ?

Si oui, effectivement, j'ai terminé. Sinon, il va falloir se creuser un peu plus la tête.

Et une autre question : as-tu une preuve (ou un lien vers une preuve) de ce que tu affirmes dans l'indice 1 ?

Vasimolo · #11

Je parlais bien de parallélépipèdes rectangles ( en bref : de boîtes ) , on peut voir pour un parallélépipède quelconque mais je n'ai aucune idée de la solution . Pour le premier indice , c'est assez intuitif , on peut imaginer que le grand convexe est une feuille de papier que l'on va froisser pour recouvrir le petit . Je n'ai aucune référence à une quelconque démonstration

Vasimolo

gwen27 · #12

Oui, il a tout intéret à mettre sa petite boîte dans une grande car le périmètre sera plus grand.

Avec x, y et z les dimensions du petit parallélépipede et a, b et c celles du grand, on a :

( x + y + z ) < ( a + b + c ) => périmètre plus petit...

Preuve :

( x + y + z )^2 = ( x^2 + y^2 + z^2 ) + 2 ( xy + xz + yz )

Or, pour les grandes diagonales : rac( x^2 + y^2 + z^2 ) < rac( a^2 + b^2 + c^2 )
Les deux étant positives : ( x^2 + y^2 + z^2 ) < ( a^2 + b^2 + c^2 )

Et pour les surfaces : 2xy + 2xz + 2yz < 2ab + 2ac + 2bc

Vasimolo · #13

Je suis d'accord avec tes calculs mais pas avec ta conclusion

Vasimolo

gwen27 · #14

Pourtant, on arrive à (x+y+z)^2 < (a+b+c)^2 et donc x+y+z < a+b+c CQFD

Vasimolo · #15

C'est certainement de l'humour à deux balles du genre : "personne n'a dit que plus c'est gros plus c'est cher"

Vasimolo

gwen27 · #16

Alors l'énoncé n'est pas suffisamment clair...

Jusqu'à présent le prix à payer dépendait uniquement du volume de la boîte , mais aujourd'hui , changement de cap : le prix ne dépendra que du périmètre de la boîte ( longueur totale des arêtes ) . Il s'est donc poser une question absurde à priori : peut-il trouver un intérêt quelconque à placer une de ses boîtes déjà préparée dans une autre ?

On peut avoir le même sans sous-entendu interprétable ?

Vasimolo · #17

Non , tu as tout de même trouvé la solution sans vouloir l'avouer ( un peu tardivement quand même ) , l'énoncé ne devait pas être suffisamment limpide

Vasimolo

Vasimolo · #18

J'ai ajouté un troisième et dernier indice

Vasimolo

Franky1103 · #19

A, B et C: dimensions de la grande boîte
a, b et c: dimensions de la petite boîte
Indice 3 => (A+B+C)² = A²+B²+C²+2(AB+AC+BC)
et: (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
Indice 2 => A²+B²+C² > a²+b²+c²
Indice 1 => AB+AC+BC > ab+ac+bc
D’où: A+B+C > a+b+c; donc réponse = non

Vasimolo · #20

C'est ça Franky

Vasimolo

Vasimolo · #21

Tout a été dit ou presque , il reste une question ouverte levée par Ebichu : et si les boîtes sont des parallélépipèdes non rectangles ?

Merci aux participants

Vasimolo

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#1 - 06-08-2017 11:51:53

Gâteau 410

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