Moi non plus, je n'y arrive pas. J'attends la réponse avec impatience (si c'est autre chose que "on ne peut pas" )

Le gâteau est polygonal comme le suggère le dessin

Vasimolo

Oui Nodgim , c'est une façon de voir les choses , je passe le message au pâtissier

Vasimolo

On ne peut pas y arriver et c'est la contrainte de convexité qui pose un problème. En le considèrant comme un polygone avec une infinité de côtés de longueur nulle, un cercle sera la figure la plus convexe possible. Puisque pi < 4, le périmètre du meilleur gâteau candidat sera toujours inférieur à celui de la boite.

On ne peut pas réaliser un tel gâteau.

Voici les idées de la démonstration, que je ne formalise pas volontairement :

On considère 4 sommets extrémaux du gâteau H, B, G, D (haut, bas, gauche, droite).

En partant de G pour joindre D, il y a alors deux chemins de sommets possibles, où l'on se déplace toujours de la gauche vers la droite. En effet s'il y avait un retour vers la gauche cela contredirait la convexité.

Idem avec haut/bas.

On peut alors (éventuellement) insérer des nouveaux sommets entre chaque paire de sommets consécutifs, de façon à ce que les bords deviennent tous horizontaux ou verticaux. Entre [latex](x;y)[/latex] et [latex](x';y')[/latex], on insère éventuellement [latex](x;y')[/latex].



On obtient un nouveau gâteau/polygone dont le périmètre est supérieur ou égal au gâteau/polygone original car le plus court chemin entre 2 points est la ligne droite.

Le périmètre du nouveau gâteau peut alors se calculer facilement :
La somme des côtés horizontaux vaut [latex]2(x_D-x_G)[/latex] 
(En partant de G pour joindre D, l'on se déplace toujours de la gauche vers la droite de sommet en sommet.)
De même, la somme des côtés verticaux vaut [latex]2(y_H-y_B)[/latex] 

On en conclut que le périmètre du nouveau gâteau et a fortiori du gâteau original est inférieur ou égal au périmètre de la boite.

Ce n'est pas possible.
C'est intuitif, mais on peut le démontrer ainsi :

Les bissectrices des angles aux sommets coupent le carré en des points qui délimitent des entités (segments ou paires de segments).
Chacune de ces entités a une longueur supérieure au côté correspondant du polygone.
D'où par addition le résultat :
Le polygone a un périmètre supérieur à celui de la boîte carrée.

Le gâteau étant convexe, si on si on prend un triangle formé par 3 sommets consécutifs, en augmentant sa hauteur, on augmente son périmètre. On le prolonge donc jusqu'au bord de le boîte obtenant ainsi un gâteau de périmètre plus grand que le gâteau initial.  (Cela marche même sans avoir un gâteau octogonal au départ, certains sommets consécutifs seront juste projetés sur le même côté de la boîte)

De fil en aiguille, on obtient un octogone inscrit dans la boîte, dont le périmètre, plus grand que celui du gâteau est clairement plus petit que celui de la boîte.


Il est donc impossible d'y arriver.

Peut-on "plier" le gâteau?

Je commence par supposer que la boîte est rectangulaire (peut-être faudrait-il le présiser au départ ? ).
La boîte de périmètre le plus petit vient toucher le polygone sur un segment ou un point sur chacun des ses cotés.
Considérons un angle A de ce rectangle et la portion de polygone P1-Pn qui vient toucher les cotés adjacents à A en P1 et Pn.

       

On trace de chaque point Pi les segments parallèles à A-P1 et A-Pn, segments dont les intersections sont les point A1, ... Ai, ... An-1.
On détermine ainsi une ligne polygonale en escalier "P1, A1, ... Pi, Ai, Pi+1, ... An-1, Pn" dont la longueur est égale à P1-A + A-Pn.

Dans chaque triangle rectangle Pi, Ai, Pi+1 l’hypoténuse est inférieure à la somme des cotés de l'angle droit.
La longueur de la suite de segments "P1, ... Pi, ... Pn" est donc inférieure à celle de la suite "P1, A1 ... Pi, Ai, Pi+1, ... An-1, Pn", donc de la somme P1-A + A-Pn.
On peut recommencer ce processus pour chaque sommet du rectangle.
Est-il besoin de rentrer plus dans le détail ?

Remarque 1 : La démonstration reste valable pour une boîte non rectangulaire, que ce soit un quadrilatère ou un polygone à n cotés (n <= nb de cotés du polygone) dont chaque coté vient touché le polygone initial en un point ou un segment.
Il suffit de remplacer alors "triangle rectangle" par "triangle quelconque", et hypoténuse par un coté dont la longueur reste inférieure à la somme des 2 autres .


Remarque 2 : En multipliant le nombre de coté de ton polygone, on arrive à une courbe convexe, et on démontre ainsi que la longueur de cette courbe est comprise entre la longueur de tout polygone inscrit dans cette courbe et celle de tout polygone circonscrit à cette courbe .

Pour une boite rectangulaire (définissant des notions de gauche/droite et haut/bas),
le résultat reste valable pour des gâteaux non convexes du moment que pour aller de G à D (resp. de B à H), on se déplace toujours vers la droite (resp. le haut).

Par exemple, pour une étoile à 4 branches (placée dans la boite comme ci-dessous) :

Je dirais simplement qu'on peut obtenir la forme du gâteau en partant de la forme de la boîte et en appliquant des découpes successives, chaque coupe consistant à tracer une ligne droite dans un polygone.

Ce polygone est convexe à n'importe quel moment par construction, et chaque découpe va raccourcir le périmètre du polygone, puisque la zone supprimée sera également un polygone convexe dont on gardera un seul côté en supprimant tous les autres.

Donc notre pâtissier semble mal barré ^^

Je trouve que c'est impossible, en gros sur le principe que le plus court chemin d'un point à un autre est la ligne droite...

Mais je ne parviens pas à faire une démo rigoureuse.