Bonjour,
je me mets en mode bourrin (il y a peut-être plus subtil)
j'appelle c le côté du carré,
je note x la distance entre le bord gauche et le diamant,
y la distance entre le bord gauche et la perle
et h la distance entre la ligne de partage et le bas.

grâce au théorème de Pythagore, on doit donc minimiser :
[TeX]\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(c-x)^2+h^2}+\sqrt{y^2+(c-h)^2}+\sqrt{(c-y)^2+(c-h)^2}(+ c \mbox{ qui ne changera pas...}) [/TeX]
étant donné que les longueurs sont bien sûr positive, on peut éliminer les racines carrés et en développant, on obtient :
[TeX]x^2+h^2+c^2-2xc+x^2+h^2+y^2+c^2-2ch+h^2+c^2-2cy+y^2+c^2-2ch+h^2[/TeX]
j'ai enlevé le c final...

j'isole les éléments en h qui sont finalement les seuls qu'on peut minimiser :
[TeX]4h^2-4ch[/TeX]
une telle fonction de h est minimum pour h = c/2

Donc finalement, la seule chose à faire est de placer la ligne de séparation au milieu du gâteau.

Shadokpoilu.

@Shadockpoilu : attention [latex](\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\neq a+b[/latex]
@Nodgim : il faut trouver un moyen simple de positionner la ligne horizontale qui va minimiser la longueur du tracé rouge . Les positions de la perle et du diamant sont imposées .

Bonne recherche .

Vasimolo

Tu arrives à la même conclusion que Shadockpoilu . Un résultat aussi simple devrait pouvoir se justifier sans sortir l'artillerie lourde .

C'est une question que je me pose aussi

Vasimolo

Tu risques d'être un peu déçu , on obtient la réponse analytiquement et il y a sûrement une subtilité géométrique qui l'explique mais elle m'échappe pour le moment : avis aux amateurs

Et bien sûr : Joyeux Noël à tous !

Vasimolo

Je ne pense à rien de plus qu'à une stratégie permettant d'optimiser les gains à moindre effort , après , on peut tenter le juste prix .

Vasimolo

Je suis nouveau sur le forum, bonjour à tous 

Je n'ai pas la solution analytique!
Calcul du périmètre avec Pythagore (idem Shadokpoilu)
On obtiens une fonction F(h) (h est l'inconnue) à minimiser.
Donc calcul de la dérivée par rapport à h pour trouver le zéro de la dérivée.

Le problème est que l'équation finale (très lourde!) n'est pas résoluble! (par moi)

Mais la réponse h = c/2 n'est pas bonne dans le cas général (non symétrique).
Il suffit d'un contre exemple, par exemple si c= 1, x = 0, y = 0.5 le minimum est à 0.48!
Donc à mon avis pas de solution simple.

Hâte de voir la réponse
et merci pour ces belles énigmes

René

Merci  nodgim pour ce développement
(j'ai cherché un peu du côté des relations au niveau des angles mais ne suis pas parvenu à tes résultats.)

Petite précision
(?)



où l'on voit la valeur approximative qui correspond à
perle à une extrémité et diamant au milieu (ou le contraire)

d'où l'écart entre les deux extrêmes

(dans le cas d'un carré de 1 sur 1)

(à vérifier sur la figure animée https://ggbm.at/EEBbsb2k )

Effectivement
n'est-ce pas une singularité ?

Pour diamant en 0.5
Il semble que le décalage maximal corresponde
pour perle à 0.5
à une valeur légèrement inférieure à 0.1 (j'aurais eu tendance à croire à 0) pour diamant.

Sinon,
pour répondre aux besoins du pâtissier,

"La position de la perle et du diamant ne lui sera communiqué qu'à la dernière minute , il devra alors finaliser son œuvre rapidement .

Un petit coup de main pour aider mon pâtissier à bien finir l'année ?????"

Je l'engage à utiliser l'outil de géométrie dynamique mis à sa disposition

Avec une petite déception peut-être
la différence de rubis entre la solution banale
trait au milieu
et l'optimale (au maximum un écart de 2,5cm sur un gâteau d'1m de côté)
ne lui fera gagner au plus qu'un rubis
...
me semble-t-il.
(7/10 mm sur 3953 mm de longueur de rubis)

bon tout aux participants
et à Vasimolo
Le pâtissier qui nous a offert ce sujet de flexion.