Ce n'est pas grave , continue à creuser

Vasimolo

J'ai oublier l'initialisation dans ma récurrence.

   Et là je vais faire quelque chose de surprenant , je vais initialiser avec des circuit impossible (à deux slash).
Je peux le faire puisque je me suis détaché de certaines contrainte de la figures.
Par extension, (quand il y a assez de slash) le résultat reste vrai pour le gâteau.

cas 1 :  / /   2 parallélogrammes (il ne faut pas oublier de boucler le circuit)
cas 2 : / \    2 triangle
les autres cas sont identiques à symétries près.

Voilà

Mathieu

Non non tout y est

4 posts d'affilés pour démontrer des gâteaux !  ça me décourage énormément

Je vais développer  mon indication pour montrer qu'il y a toujours un nombre pair de carré dans un circuit :

autant à l’allée et au retour dans chaque sens

Je précise que je parle d'un circuit constitué uniquement de carré. Ces carrés sont recouverts par des triangles et des parallélogrammes. Ils sont de la même dimension que les carrés du nappage, mais à cheval entre deux pièce.

Différencions les carrés en quatre groupes suivant la direction du prochain carré dans le circuit : au dessus, en  bas, à droit ou à gauche
Notons h,b,d et g le nombre de carrés respectifs ces ensembles.

Puisque que, par définition, le circuit revient à sont point de départ  les déplacements suivant chacun des axes (haut-bas et droite-gauche) s'annulent.

Autrement dit : h=b et d=g donc h+b+d+g=2(h+d)
Il y a donc un nombre pair de carré.
Or chaque pièce est constitué d'exactement 2 demi carré, il y a donc autant de pièce que de carré dans le circuit : un nombre pair.

Mathieu

Détails de la récurrence :

    Insistons d'abord sur le fait que la forme d'une pièce (non carré) dépend uniquement des orientation différentes (triangle) ou des orientations identiques (parallélogramme) des deux diagonales des carrés qui la recouvre.

     On élimine donc la notion de position spatiale pour ne raisonner que sur des circuits plus généraux, où seul l'ordre d'enchainement des carrés compte. (Un peut comme quand on démontre un résultat sur les nombres réels en passant par les nombre complexes)
      On représentes donc ces circuit par une suite des slash représentant le sens de la diagonale des carrés, sens oublier qu'après le dernier slash, on revient au début :
\ \ / / \ \ \ / / / pour l'exemple de l'énoncé.

     Pour ces circuits (et donc pour les circuits réels sur le gâteau par extension) on montre par récurrence que si ils ont un nombre pair d'éléments, alors ils ont un nombre pair de chaque type de pièce.

      Remarquons enfin qu'une symétrie horizontale (exemple : / / / \ devient \ \ \ / ) ou verticale (exemple : / / / \ devient / \ \ \ ) ne change pas le nombre de chaque type de pièce. Car seul l'égalité (/ / parallélogrammes) ou la différence (/ \ triangle) compte pour la pièce entre deux slash, et ces symétries ne changent pas cette propriété.


J'ai déjà fait au 2ème post l’initialisation de la récurrence pour n=2.

      Si le résultat est vrai pour tout circuit de 2n carrés,
alors en éliminant deux carrés consécutifs d'un circuit de  2(n+1) carrés, il suffit de recoller les bout à bout pour obtenir un circuit de 2n carré, et on peut alors appliquer l'hypothèse de récurrence (nombres pairs).
      Il reste à montrer que en éliminant les deux carrés, on a bien modifié chacun des nombre de triangle et de parallélogramme d'un nombre pair.

La suite est détaillé dans le 1er post, je précise juste la notation en colorant en rouge les carrés (slash) éliminés:
/ / \ /     devient     / /   
que je notais plus simplement / / \ / --> / /
Les carrés voisins qui encadrent les deux éliminés sont représentés pour pouvoir faire les déductions sur la forme des pièces.


@Vasimolo en me demandant sans arrêt des précisions,
tu n'est pas loin de tuer ma passion

Mathieu

D'accord Mathieu , ça marche bien et c'est plutôt astucieux . La couleur rend plus visibles les carrés et slashs supprimés .

Pour les autres , il existe une démonstration très expéditive , avec des coloriages justement .

Vasimolo

PS : J'ai ajouté un petit indice pour ceux qui ne trouvent pas d'angle d'attaque

Bien joué Mathieu , on a le même dessin même s'il y en a d'autres !!!

Vasimolo

Il me semble que pour les parllélogrammes, le nombre impair est atteint pour un rectangle avec une dimension paire*impaire.
Exemple :2*1.

Bon apparemment seul Mathieu s'en est sorti ( avec 2 démos tant qu'à faire ) , je vous laisse lire les solutions

Le coloriage peut paraître artificiel mais , dans ce type de problèmes , c'est plutôt routinier et extrêmement efficace .

Merci à tous pour la participation et à bientôt pour un prochain gâteau

Vasimolo