Salut Vasimolo,

pour simplifier, je considère que le gâteau est de côté 1, et que la longueur totale du caramel vaut 7.

Lorsque l'on projette une ligne de caramel de longueur L sur l'horizontale, la longueur occupée est L|cos(α)| où α est l'angle de la ligne avec l'horizontale. Si on la projette sur la verticale, la longueur occupée est L|sin(α)|.

Or la fonction qui à x associe |cos(x)|+|sin(x)| a pour minimum 1. La longueur totale de la somme des projections de toutes les lignes sur l'horizontale et de leurs projections sur la verticale est donc supérieure ou égale à 7. Il y a donc une des deux directions pour laquelle la somme des projections est supérieure ou égale à 3,5, donc strictement supérieure à 3. On peut donc trancher le gâteau perpendiculairement à cette direction en coupant au moins 4 lignes.

Inversement, la fonction qui à x associe |cos(x)|+|sin(x)| a pour maximum racine(2). La longueur totale de la somme des projections de toutes les lignes sur l'horizontale et de leurs projections sur la verticale est donc inférieure ou égale à 7*racine(2). Il y a donc une des deux directions pour laquelle la somme des projections est supérieure ou égale à 7*racine(2)/2, donc strictement inférieure à 5. On peut donc trancher le gâteau perpendiculairement à cette direction en coupant au plus 4 lignes.

105 pour carré 15 équivaut à 7 pour carré 1.

On met bout à bout tous les segments dans un repère orthonormé à partir de (0,0) et en prenant les segments dans l'ordre d'inclinaison trigonométrique de 0 inclus à Pi exclu. Pour les segments au dela de PI/2, on les retourne pour que le projeté sur x ne se superpose pas. Pour avoir un projeté minimal de cette courbe brisée, soit sur l'axe des x, soit sur celui des y, il faut aboutir, au bout de la ligne brisée, à une coordonnée à x=y. Pour arriver à un x=y minimal, avec comme longueur de ligne brisée 7, pas d'autre solution que de suivre les axes : 3,5 horizontal puis 3,5 vertical. Limité dans un carré de coté 1, on ne peut donc pas repasser moins de 3,5 l'axe le plus chargé, soit 4 si on cherche un max. C'est par exemple obtenu avec 2 carrés emboités, l'un de coté 1, l'autre de coté 3/4.

105 et 15 peuvent être ramenées aux valeurs 7 et 1.

On inscrit chaque segment dans un rectangle Horizontal/Vertical dont 2 sommets en diagonale sont confondus avec ceux du segment. On place ces rectangles dans le repère orthonormé: le 1er, son coin bas gauche en (0,0), les autres tels que leur coin bas gauche est confondu avec le coint haut droit du précédent. Le coin haut droit du dernier est à une abscisse (x,y).
x détermine donc la longueur totale des projetés sur l'axe des x, et y sur sur l'axes des y.
Le min de x ou y est 0, le max est 7. Quand tous les segments ont la même orientation, et quand x=y, alors (x,y) =  7/V2 = 4,9.. (orientation 45°).
Toujours quand x=y, son min est 3,5, quand les segments sont tous horizontaux ou verticaux. 

Comme le carré fait 1, lorsque les segments sont regardés maintenant à leur vraie position, les superpositions minimales et maximales, dans le cas le plus défavorable, des projetés sur x et y sont les entiers qui encadrent x/1 et y/1 (principe des tiroirs),  soit pour 3,5 : 3 et 4, et pour 4,9 : 4 et 5.

Si l'on cherche maintenant à regarder quel est le minimum de segments qu'une coupe va traverser, coupe horizontale ou verticale :
- Min pour le dessin le plus défavorable: 4 avec les segments orientés à 45°.
- Max pour le dessin le plus défavorable: 4 avec les segments horizontaux ou verticaux.

On remarque qu'on n'a pas besoin de vérifier des coupes autres que horizontales ou verticales.
On remarque aussi que ces max et min sont indépendants de la possibilité ou non de réaliser une configuration réelle qui correspond aux cas extrêmes.

Je ne sais pas trop. Cette image m'a permis de mieux visualiser les min max des (x,y), je pataugeais sans elle sur cette mesure.

C'est bon Caduk

Pour les conjectures , ce n'est pas évident à estimer ( il faut mettre le doigt sur la pire des configurations ) et encore plus difficile à démontrer ( en quoi est-ce la pire ? ) .

Vasimolo