Enigme Gâteau 107 @ Prise2Tete

Vasimolo · #1

Bonjour à tous

Pour mon anniversaire mon pâtissier m'a offert quatre gâteaux identiques :

Pour dessiner la partie centrale , il a disposé trois baguettes parallèlement aux côtés du triangle :

Il a ensuite distribué les coupes rouges et bleus à ses deux fistons ( une couleur pour chacun ) . Comme ils ont hérité de certaines manies de leur père , ils se sont amuser à construire des gâteaux avec leurs petits bâtonnets :

Les deux gâteaux semblent avoir le même volume ???

Amusez-vous bien

Vasimolo

kossi_tg · #2

ou

A, B et C désignent à la fois les sommets et les angles à ces sommets,

les lettres d à i désignent les longueurs des coupes de baguettes,

m, n et v désignent la distances des côtés aux points de croisement des baguettes (voir les figures)

Par définition, les gâteaux rouges et bleus ont le même volume si et seulement si d*f*h=e*g*i.

A partir des reports d'angle dus aux différents parallélismes, on a:

sin(A)=m/d donc d=m/sin(A)

sin(A)=n/e donc e=n/sin(A)

sin(C)=n/f donc f=n/sin(C)

sin(C)=v/g donc g=v/sin(C)

sin(B)=v/h donc h=v/sin(B)

sin(B)=m/i donc i=m/sin(B)

d*f*h=m/sin(A)*n/sin(C)*v/sin(B)=m*n*v/[sin(A)*sin(B)*sin(C)]

e*g*i=n/sin(A)*v/sin(C)*m/sin(B)=m*n*v/[sin(A)*sin(B)*sin(C)]

d*f*h=e*g*i CQFD

portugal · #3

On remarque que les 3 "petits" triangles formés de la portion centrale des bords respectifs prolongés des bâtonnets de couleurs adjacents sont homothétiques.

Notons ABCDEF les longueurs des bâtons rouges et bleus (pris dans le sens de aiguilles d'une montre à partir du bâton rouge de gauche ) et XYZ les longueurs des portions centrales (pris dans le même sens en partant également de celui de gauche), on a :

A/X=D/C=Z/F
A/B=D/Y=Z/E

et de petites manipulations élémentaires afin de supprimer les XYZ (qui ne servent à rien) montrent donc ACE=BDF ce qui répond à la question.

gwen27 · #4

J'avoue ne pas trop comprendre l'artifice par lequel sont "construits" les gateaux bleu et rouge ni comment on passe du gateau 106 au 105 mais bon, si j'ai bien saisi ce à quoi tu cherches à arriver, ça se résout en 30 secondes avec Thalès :

Vasimolo · #5

C'est bon pour tous

On peut passer par la trigo , Thalès ou les triangles semblables .

@Gwen : Il s'agit simplement de construire le squelette des petits gâteaux avec les baguettes . J'ai rectifié le numéro du problème .

Vasimolo

portugal · #6

On remarque que si les bâtonnets rouges ou bleus étaient remplacés par les "3 petits segments centraux des bords ", ça marcherait aussi...que d'homothéties...

Franky1103 · #7

Un dessin vaut mieux qu'un long discours: on a affaire à 5 triangles semblables dont on écrit la proportionnalité des côtés. On voit que le produit des rouges et celui des bleus sont égaux: (cA).(dB).(bC) = (bcd).(ABC) = (bA).(cB).(dC)

Vasimolo · #8

Oui Franky

Vasimolo

dbab3000 · #9

On a

V₁ le volume du gâteau avec les bâtonnets bleus
avec V₁=BE×HI×GJ
V₂ le volume du gâteau avec les bâtonnets rouges
avec V₂=CE×FG×HK
En utilisant le théorème de thalès
BC et GH sont parallèles alors BE/EH=CE/EG ce qui implique que ⁽¹⁾ BE=CE×EH/EG
IK et EG sont parallèles alors HI/GH=HK/EH ce qui implique que ⁽²⁾ HI=HK×GH/EH
FJ et EH sont parallèles alors GJ/EG=FG/GH ce qui implique que ⁽³⁾ GJ=FG×EG/GH
⁽¹⁾×⁽²⁾×⁽³⁾ donne BE×HI×GJ=CE×HK×FG×(EH×EG×GH)/(EH×EG×GH)
qui donne l'égalité BE×HI×GJ=CE×HK×FG qui est V₁=V₂
Donc ils ont le même volume.
Bonne nuit.

halloduda · #10

Ils ont bien le même volume.

Les côtés parallèles permettent d'écrire :
i/l=a'/b'
g/j=c'/a'
h/k=b'/c'
En faisant le produit
igh/jkl =1
cqfd

looozer · #11

Le triangle central est semblable aux 3 triangles formés par les côtés du gâteau et les segments de couleur. Leur côtés sont donc proportionnels.

Donc
r1/b = b1/a
r2/c = b2/b
r3/a = b3/c

En multipliant membre à membre ces trois égalités on obtient :

r1r2r3/abc = b1b2b3/abc donc r1r2r3 = b1b2b3 cqfd

Merci pour cette amusante propriété!

Vasimolo · #12

Que du bon

C'est vrai que ce n'est pas difficile , il m'arrive ( trop rarement ) d'apprécier les plaisirs simples

Vasimolo

Vasimolo · #13

Je vous laisse admirer les réponses

Merci à tous .

Pour ceux qui ont aimé l'idée , un petit prolongement à peine plus difficile :

Montrer que le produit des longueurs rouges est égal à celui des longueurs bleues .

Vasimolo

Franky1103 · #14

A peine plus difficile ? Si quand même. Il n'y a plus de triangles semblables et je ne trouve aucune démonstration simple. Une piste ? Merci.

Vasimolo · #15

On peut écrire la loi des sinus dans chaque petit triangle

Vasimolo

Franky1103 · #16

Ah ben oui, merci, Vasimolo.
La loi des sinus dans les cinq triangles s’écrit:
a1/sinB = a2/sinA
b1/sinC = b2/sinB
c1/sinD = c2/sinC
d1/sinE = d2/sinD
e1/sinA = e2/sinE
En multipliant ces cinq relations entre elles et
en simplifiant par sinA.sinB.sinC.sinD.sinE, on
obtient: a1.b1.c1.d1.e1 = a2.b2.c2.d2.e2
Et voilà.

nodgim · #17

Ah oui celle-là elle est excellente ! Ultra courte et lumineuse.

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âteau 107

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