Si BD est un élastique, alors il doit être plié en son milieu à cause du 2ème élastique.

Sinon ça marche bien pour couper du St Pierre.
On se place dans le repère de centre O avec comme droite horizontale la bissectrice de la part.
Soit $\beta$ l'angle formé par une demi part et soit $d=AB=CD$.
Je note $y_M$ la composante verticale d'un point $M$.
Alors:
$y_B =y_A + d.sin(\beta)$ et $y_D =y_C - d.sin(\beta)$.
La composante verticale du milieu de [AC] vaut: $\frac{y_A +y_C}{2}$,
et celle du milieu de [BD] vaut: $\frac{y_B +y_D}{2}=\frac{y_A + d.sin(\beta) +y_C - d.sin(\beta)}{2}=\frac{y_A +y_C}{2}$.
Donc les milieux de [AC] et [BD] ont même composante verticale. Ainsi l'élastique qui passe par ces deux points est horizontal, donc parallèle à la bissectrice.

Bravo Irmo , je retire ma menace et sans coordonnées ni trigo ???

Vasimolo

Soit A' et C' les projections de A et C sur BD parallèlement à la bissectrice de Ô.

En prolongeant AA' et en traçant une parallèle à CD passant par B, on trouve A".
De même, en prolongeant CC' et en traçant une parallèle à AB, on trouve C".
De par les multiples parallélisme, les triangles ABA" et CDC" sont isocèles et égaux de sorte que les longueurs A'B et C'D sont égales.

Comme AA'C'C est un parallélogramme, les milieux M et M' des segments AC et A'C' forment un segment MM' parallèle à la bissectrice de Ô. Et comme A'B et C'D sont égaux, M' est également le milieu de BD.
L'instrument permet donc bien de couper la part en deux partie égale.

Désolé, je n'ai pas de quoi faire un beau dessin (paint c'est tout pourri)

Cela dit, il faut noter que cette instrument empêche de couper le gâteau.

Oui, cette méthode est correcte.

Le résultat est vrai lorsque AC est perpendiculaire à la bissectrice en O.

Pour un déplacement de A et de C, le milieu de AC effectue la moitié de la somme vectorielle de ces déplacements.
B et D effectuent les mêmes déplacements que A et C respectivement, et le milieu de BD effectue la moitié de la somme vectorielle de ces déplacements, donc la même chose que le milieu de AC.
Il s'ensuit que le segment bleu n'effectue que des translations.
Il reste donc toujours de même longueur et parallèle à la bissectrice en O.

Pas beaucoup de succès pour celui la à

Le plus simple est de remarquer que IB'JD' est un losange donc la diagonale (IJ) est aussi bissectrice et comme le losange a ses côtés parallèles aux bord de la part , sa bissectrice est aussi parallèle à celle de la part .



Merci à ceux qui ont essayé

Vasimolo