Apparemment peu d'intérêt ou peu d'idées pour ce gâteau , j'ajoute un indice sur la méthode que j'ai utilisée ( ce n'est sûrement pas la seule ) .

Vasimolo

Il faudrait des angles x, y et z tels que [latex]\frac{\sin x}x=\frac{\sin y}y=\frac{\sin z}z[/latex]

La fonction [latex]\frac {\sin x}x[/latex] étant continue et monotone entre 0 et [latex]\pi[/latex], il faudrait que x=y=z,
le triangle équilatéral de côté 60 mm est la seule solution.

Mon Java est souvent déconnecté, alors l'indice je ne le vois pas...

Le coté Moyen du triangle quelconque, je le place comme base, et je prolonge cette base d'une longueur égale pour dessiner un second rectangle identique au 1er. Je joins en haut les 2 sommets. En bas, au raccord entre les 2 triangles, je décide que c'est le centre d'un demi cercle de rayon le coté moyen. Avec la ocnstruction, les cotés grand petit et moyen forment un demi hexagone qu'on peut comparer directement avec les arcs qui correspondent exactement aux angles opposés. On constate alors directement que le rapport Angle/coté opposé est proportionnel à l'angle. L'arc du petit coté passe totalement à l'intérieur, il est plus petit, alors que l'arc du grand coté passe totalement à l'extérieur, il est plus grand. L'arc du coté moyen coupe son coté, il est à peu près de même taille. Pour avoir des rapports Arc/Coté identiques, il faut nécessairement passer par des angles identiques.

En effet il n'y avait pas d'autre gâteau possible , l'injectivité de [latex]\frac{\sin(x)}{x}[/latex] sur un bon intervalle permet de conclure sans effort .

Merci pour la participation

Vasimolo

PS : je n'ai pas compris la démo de Nodgim ( sans doute l'abscence d'illustration ) .

Remarquez qu'on peut comprendre la question autrement : un triangle dont la mesure des angles en degrés correspond à celle des côtés (pas spécialement opposés !) en millimètres .

Dans ce cas, on trouve une infinité de solutions.

Thomas

@Nodgim : je ne suis pas complètement convaincu par ton dessin :


@Thomas : tu en es sûr ? Il me semble que les angles et les côtés qu'ils interceptent sont forcément dans le même ordre .

Vasimolo

@ vasimolo :

hehe je suis allé un peu vite ^^, je trouve en fait une infinité de solutions pour que 3 nombres a, b et c vérifient la loi des sinus "dans le désordre", mais je n'avais pas vérifié que la somme des 3 était égale à 180°... Et effectivement, quand je rajoute cette donnée je tombe sur l'unique solution du triangle équilatéral.

Thomas

Oui mais contrairement aux arcs , les cordes ne sont pas proportionnelles aux angles .

Vasimolo

D'accord , je vois l'idée mais ça fait quand même beaucoup de "comme on le voit sur le dessin"

Par exemple C2>S2 , pas si évident .

Puis  pour A2/C2>A1/C1 , c'est la monotonie de sinx/x . L'argument principal de la démo donnée par Halloduda est donc utilisé parmi d'autres .

Vasimolo

Bon en effet S2>C2 peut se prouver sans trop de problème

Maintenant si on écrit tout , l'ensemble de la démonstration commence à peser un peu mais elle évite l'usage de la trigonométrie .

La figure est plutôt jolie

Vasimolo