Je dirais Spoiler : [Afficher le message] 10x29 ... j'ai bon ?

3 petites remarques :
* il peut être constructif de ne pas être constructif.
* il n'y a pas unicité de la solution.
* mesurer l'image de Vasimolo fournit un gros indice

En effet, "il n'y a pas unicité du découpage" est une formulation moins ambiguë

Je pense que c'est maintenant que j'ai compris le problème. Par la phrase

Les parts portant une bougie bleue ont des côtés qui décrivent tous les entiers de 1 à 10

, j'avais compris qu'il faille faire un découpage qui décrit graphiquement l'écriture des entiers 1 à 10. Il fallait comprendre la mesure des côtés des rectangles. Ok, je m'y mets

C'est ça Gwen , il suffit d'essayer pour conclure

Vasimolo

Démonstration de l'unicité de la réponse:

5 rectangles dont les côtés vont de 1 à 10, notons SA la somme des aires de ces 5 rectangles.

SA est majorée par 10*9+8*7+6*5+4*3+2*1=190 (les plus grands rectangles qu'il est possible d'avoir en même temps) et est minorée par 10*1+9*2+8*3+7*4+6*5=110 (les plus petits rectangles qu'il est possible d'avoir en même temps).

Entre 110 et 190, il n'y a que 3 carrés parfaits qui sont 121, 144 et 169 donc il n'existe que 3 dimensions possibles pour les carrés bleus et verts.

En combinant 2 à 2 ces nombres carrés parfaits, on a:

** 1er cas: 121+144=265=53*5. Pour pouvoir avoir ce gâteau, il faut que la largeur de tous les rectangles soit inférieure ou égale à 5 or dans ce cas le plus gros gâteau qu'il est possible d'avoir est (10*5+9*4+8*3+7*2+6*1)*2=260<265 donc notre gâteau n'est pas formé de 2 carrés 11x11 et 12x12.

** 2è cas: 144+169=313 qui est nombre premier donc tous les rectangles auraient une larguer égale à 1. Impossible.

** 3è cas: 121+169=290=29*10 ou =145*2 ou = 58*5. Les 2 dimensions 145*2 et 58*5 sont impossibles pour des raisons évidentes (voir le 1er cas).

L'unique solution possible est donc 29x10 si elle existe et le poste précédent montre qu'elle existe.
CQFD.

En sachant que chaque 5 parts sont égaux alors ils ont le même aire ce qui signifie que les aires des carrés sont divisibles par 5,on a:
Un carré de côté 5 qui a un aire de 25=5×(5×1) qui peut être formé par 5 rectangles (bleus) de dimension 5×1 car 5 peut s'écrire sous la forme 5=5a et 5=1b tel que a et b sont des entiers.
Un carré de côté 10 qui a un aire de 100=5×(2×10) ou 100=5×(5×4) mais pour le deuxième cas on ne peut pas former un carré avec des rectangles de dimension 5×4 car 10 ne peut pas s'écrire sous la forme 10=4a+5b ou 10=4a par contre elle peut s'écrire sous la forme 10=2a et 10=10b alors le deuxième carré est formé par des rectangles (verts) de dimensions 2×10.
On a 100+25=125 c'est l'aire  du rectangle qu'on veut trouver et 125=1×125=5×25 le rectangle ne peut pas avoir une dimension de 1×125 avec les parts que nous avons donc sa dimension est 5×25 .
Bonne journée.

Est ce que chaque 5 parts sont égaux? A mon avis,c'est l'information qui a faussé mon raisonnement.

Merci Vasimolo pour l'explication,j'étais vraiment sur la mauvaise piste, je vais rectifier, avec 5 parts bleus ou verts le plus petit aire est 10×1+9×2+8×3+7×4+6×5=110 et le plus grand aire est 10×9+8×7+6×5+4×3+2×1=190 alors les seuls carrés qu'on peut former ont un côté 11,12 et 13 avec des aires respectivement 121,144 et 169,on a 3 cas:
-L'aire des deux carrés bleus et verts sont respectivement 144 et 169 alors l'aire du gâteau est 144+169=313 mais 313 est un nombre premier alors il ne peut s'écrire que sous la forme 313=313×1 le gâteau ne peut pas avoir cette dimension c'est un cas impossible.
-L'aire des deux carrés bleus et verts sont respectivement 121 et 144 alors l'aire du gâteau est 121+144=265, 265 peut s'écrire sous la forme 265=265×1=5×53
265×1 ne peut pas être sa dimension et pour 5×53 en supposant que le gâteau a cette dimension toutes les parts rectangulaires doivent avoir un couple longueur et largeur (L,l) tel que L>5 et l≤5 cependant le plus grand aire qu'on peut former avec ses rectangles est 5×10+4×9+3×8+2×7+1×6=130 alors on ne peut pas former un carré qui a un aire de 144 c'est un cas impossible.
-Les deux carrés bleus et verts ont respectivement un aire 121 et 169 alors l'aire du gâteau est 121+169=290 qui peut s'écrire sous la forme 290=29×10 donc la dimension du gâteau est 29×10. J'espère que ce n'est pas faux cette fois ci ^^
Bonne nuit

Avec un programme, sur les 9x7x5x3=945 façons de regrouper par paires les entiers de 1 à 10, il y en a 14 qui permettent d'obtenir une aire de 121, et 12 qui permettent d'obtenir une aire de 169.

Parmi ces 14 et 12 façons, je n'en ai trouvé que 2 de chaque sorte (par une méthode manuelle, il est rapide de vérifier si 5 rectangles s'organisent en carré) qui permettent de reconstituer des carrés de 11x11 ou 13x13 :

1*6 + 2*10 + 3*9 + 4*7 + 5*8 = 121 (A)
1*9 + 2*8 + 3*6 + 4*7 + 5*10 = 121 (B)

1*2 + 3*7 + 4*6 + 5*10 + 8*9 = 169 (C)
1*2 + 3*8 + 4*5 + 6*10 + 7*9 = 169 (D)

J'arrive à assembler (B) et (D) (comme kossi), ou bien (A) et (D) pour former le gâteau de taille 29x10.

Par contre, je n'arrive pas à assembler (A) et (C), ni (B) et (C), sans pour autant avoir de preuve que ce soit impossible... quelqu'un a-t-il plus de réussite que moi ?