Application classique du théorème de Thalès et de la position du centre de gravité aux deux tiers de la médiane en partant du sommet...

Le triangle rouge a même base que ABC et une hauteur réduite au tiers car GA'=AA'/3.
Ainsi : aire(BGC)=aire(BAC)/3.
La position de A' au milieu de [BC] donne aussi : aire(BGA')=aire(BGC)/2.
Par suite : aire(BGA')=aire(BAC)/6.
Il en est de même pour les cinq autres petits triangles.
Bon appétit

oui

triangle ABC, de milieux a,b,c (a opposé de A, b opposé de B et c opposé de C), et O centre du triangle (croisement des médianes)

On note S(xyz) l'aire du triangle xyz.

comme a milieu de BC, S(OaB) = S(OaC)
de meme S(OcA)=S(OcB) et S(ObA)=S(ObC).
(En d'autres termes, les petits triangles cotes à cotes qui partagent un coté du gros triangle sont de meme aire)

De plus, S(AaB)=S(AaC) (les deux moitiés du gros triangle issu de A et coupé au milieu sont de meme aire)

et en developpant chaque coté il vient :
S(OcA) + S(OcB) + S(OaB) = S(ObA) + S(ObC) + S(OaC)

qui se simplifie en S(OcA)=S(ObA),

et par symétrie (de rôle joué, pas dans la figure), on a l'égalité pour tout le monde...

Affirmation : Les 6 parts d'un triangle (non-aplati) découpé par ses médianes sont d'aires égales.

1°) C'est évident par symétrie si le triangle est équilatéral.

2°) Si c'est vrai pour un triangle T, c'est vrai pour tout triangle f(T) où f est une transformation affine du plan.

En effet, f conserve les milieux et les segments ( f[AB] = [f(A)f(B)] ) donc f envoie un triangle et ses médianes sur un triangle et ses médianes.

De plus, f multiplie les aires par une constante non-nulle, donc conserve les égalités d'aires.

3°) Pour tout triangle non aplati, il existe un triangle équilatéral T et une application affine tel que f(T) soit ce triangle-là.

(Car les transformations du plan agissent transitivement sur les triangles non aplatis.)

Ce qui prouve l'affirmation.

Par conséquent, les six convives auront bien tous autant à manger.

sinon le calcul direct donne aussi la réponse, puisque l'aire d'un petit triangle est

s = l * h / 2                (où s l'aire, l la largeur, et h la hauteur du petit triangle)
s = L/2 * H/3 / 2          (où L la largeur, et H la hauteur du grand triangle)
s = (L*H/2) / 6 = S / 6               (où S l'aire du grand triangle)

mauvaise foi peut-être mais bon foie

oui
Si ABC est un triangle et A'; B' et C' les milieux des côtés des côtés [BC],[AC] et [AB] alors (AA'); (BB') et (CC') sont les 3 médianes et G le centre de gravité alors les triangles ABG et ACG et BCG sont de même aire.
d'où (GC') est donc une médiane du triangle ABG et donc l'aire du triangle AGC' est égale à l'aire du triangle GBC' et de même pour les triangle GBC et GAC

Une médiane coupe le triangle original en 2 triangles contenant 3 parts chacun.
Ces deux triangles ont en commun au moins 2 cotés : la médiane et la moitié de la base dont la médiane est issue.
Le troisième coté de chacun des deux triangles est un des deux autres cotés du triangle.  Ces 2 demi triangles ont la même aire ssi leur troisieme coté sont égaux.
Donc les six parts ne peuvent pas être de même surface si le triangle n'est pas équilatéral.
Si il l'est alors les parts sont trivialement de même surface, donc de même aire.

Finalement les 6 parts sont égales ssi le triangle est équilateral.

vi je me suis bien planté .
Un copain me l'a fait remarqué vendredi et m'a aidé a comprendre mon erreur.

Je me basait sur la formule de Héron pour le calcul d'aire de triangle quelconque.
$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ avec a, b, c les cotés et p le demi périmètre.

Je m'étais dit que si juste un coté change alors un seul facteur du produit change et donc le résultat change.

En fait j'ai oublié que si un coté change alors p aussi et donc les autres facteurs changent aussi mais pas forcément le résultat ><.