Mais est-ce qu'il ne manquerait pas une question ?

@Halloduda : Nous avons bizarrement le même dessin , est-ce vraiment un hasard ???

@Fix33 : Non , tout est dit mais c'est une énigme , il faut voir ce qui fait fonctionner le truc .

@Jackv : C'est une autre solution avec le même gâteau ( je n'avais pas prévu ta variante et j'aurais préféré une solution unique )

Vasimolo

Oui Kossi_tg , c'est un nouveau découpage du même gâteau .

Vasimolo

L'épaisseur du gâteau n'ayant que peu d'importance puisqu'elle est constante, on peut ramener le problème dans le plan

On imagine assez bien qu'il ne doit pas y avoir des tonnes de triangle dans lesquels on obtient cette forme carrée.

Je dessine d'abord le carré OHMN de côté x à partir de deux droite perpendiculaires MN et MH (supports du futur côté [BC] et de la future hauteur [AM]).

Une propriété intéressante (en tout cas dans ce gâteau 61) me dit que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés d'un triangle sont situés sur le cercle circonscrit. Chouette, j'ai l'orthocentre et N milieu du futur côté [BC]! Je construis donc H' : symétrique de H par rapport à N

Ayant le centre (O) et un point (H') du cercle circonscrit, je trace donc ce dernier qui me permet de trouver A, B et C.

Comique : BC vaut 4x et AM vaut 3x! Ca va aider pour la découpe. Et je sais maintenant que l'aire du triangle 6x² doit être découpée en six parts de x² d'aire.

Voici une solution :



Oups! Mal lu l'énoncé. On demandait des parts convexes.



ou bien




Vraiment excellent ce gâteau 61! Merci au pâtissier

Voilà



Tentative de justification :

On peut choisir un repère orthonormé et placé 0 et H tels que 0 = (1,1) et H = (0,1).

Comme H est l’orthocentre, alors un des sommet est sur l'axe des ordonnées, appelons A ce point, nous avons donc A = (0,y) pour un certain y. Les deux autres points disons B et C sont sur l'axe des abscisses, donc B = (x,0) et C = (z,0) pour un certain x et un certain z (on supposera x < z).

Comme O est le centre du cercle circonscrit, B et C sont symétriques par rapport à la droite d'équation x = 1. Nous avons donc x - 1 = 1 - z, donc z = 2 - x. Autrement dit C = (2 - x,0).

Note : comme on a supposé x < z alors x < 2 - x et donc x < 1.

Comme O est le centre du cercle circonscrit, on a que OA et OB ont la même norme. On a OA = (-1,y-1) et OB = (x-1,-1), et donc 1 + (y-1)² = (x-1)² + 1,
c'est à dire que (y-1)² = (x-1)² donc y - 1 = x - 1 ou y - 1 = 1 - x, autrement dit
y = x ou y = 2 - x.

Comme H est l'orthocentre, alors BH et AC sont orthogonaux, et donc leur produit scalaire est nul. On a BH = (-x,1) et AC = (2-x,-y), et donc -x(2-x) -y = 0, c'est à dire que y = -x(2-x).

D'après ce qu'on a vu dans les deux paragraphes précédent, on a donc soit
-x(2-x) = x  soit -x(2-x) = (2-x). Le premier cas donne x = 0 ou x = 3, x= 0 n'est pas possible et comme x < 1, x = 3 n'est pas possible non plus. Nous sommes donc dans le second cas, et le second cas donne x = 2 ou x = -1 comme x < 1, il reste x = -1. Et donc le seul triangle possible a ses trois sommets aux points de coordonnées (0,3); (-1,0); (3,0).

Après pour la justification du découpage, se reporter au quadrillage .

Je trouve 6 parts, mais avec une solution très "bulldozer" que voici.
Je considère un triangle ONP quelconque dont les sommets ont les coordonnées qui suivent: O(0;0); N(a;b) et P(c;0) et qui a une surface de: S=bc/2.
Equations des médiatrices: x=c/2; y=-(a/b).(x-a/2)+b/2 et y=(c-a).(x-a/2-c/2)+b/2
Coordonnées de l'intersection des médiatrices: M(c/2;(a²+b²-ac)/2b)
Equations des hauteurs: x=a; y=-(a/b).(x-c) et y=(c-a).x/b
Coordonnées de l'intersection des hauteurs: H(a;(ac-a²)/b)
On veut d'abord que: yM=yH, ce qui donne: c=a+b²/3a
d'où: M(a/2+b²/6a;b/3); H(a;b/3) et S=ab/2+b³/6a
Mais on veut aussi que:
1°) Soit xH-xM=yM=yH, ce qui donne: b²+2ab-3a²=0, d'où: b=-3a ou b=a
(b=-3a) est à rejeter car cela donne une surface négative de la part cubique
(b=a) donne une surface de la part cubique de: a²/9, et du triangle de: 2a²/3 et on a donc 6 parts
2°) Soit xM-xH=yM=yH, ce qui donne: b²-2ab-3a²=0, d'où: b=-a ou b=3a
(b=-a) est à rejeter car cela donne une surface négative de la part cubique
(b=3a) donne une surface de la part cubique de: a², et du triangle de: 6a² et on a donc aussi 6 parts

Deux autres :





En gros, toutes les formes basées sur celle-ci en coupant la rouge et la bleue en 2 chacune :

Sauf erreur il y avait possibilité de rendre unique la solution à l'énigme en imposant des coupes issues uniquement des points O et H .

Une des solutions proposées par Looozer devient alors la solution .

Je devrais passer un peu plus de temps à peaufiner mes problèmes

Vasimolo

C'est vrai ou alors il faut imposer autant de coupes partant de O que de H mais la consigne devient vraiment pesante

Vasimolo