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#1 - 07-02-2015 20:05:02
- Vasimolo
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#2 - 07-02-2015 20:48:49
- gwen27
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hâteau 92
Va falloir des précisions, là ? Il a quoi de spectaculaire le gâteau ? A part de pouvoir coller un rectangle dessus qui touche le bord ...
#3 - 07-02-2015 21:59:05
- Vasimolo
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Gâtteau 92
Les cercles ont le même centre et selon la coutume, les croix rouges signifient des longueurs égales .
Vasimolo
#4 - 08-02-2015 09:01:02
- nodgim
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hâteau 92
Il me semble qu'il faut juste poser la pointe du compas quelque part hors les médiatrices et tracer 4 cercles qui passent chacun par un sommet du rectangle.
#5 - 08-02-2015 09:50:50
- gwen27
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fâteau 92
A première vue, je dirais que c'est impossible. sauf si la distance rouge est nulle.
#6 - 08-02-2015 10:14:58
- Vasimolo
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Gâtteau 92
@Nodgim : attention il faut que les segments rouges soient de la même taille . @Gwen : ton intuition est bonne mais le pâtissier va me demander des justifications ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#7 - 08-02-2015 10:35:05
- gwen27
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gâreau 92
Ca n'est pas une intuition... ![smile](img/smilies/smile.png)
![http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g92.JPG](http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g92.JPG)
#8 - 08-02-2015 11:07:12
- Vasimolo
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#9 - 08-02-2015 11:16:55
- nodgim
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Gâteau 2
On pose un point dans le plan distant des sommets du rectangle de A, A+x, A+2x, A+3x. La distance de ce point aux 4 cotés du rectangle est a,b,c,d. On pose 4 équations de Pythagore (1) a²+b²=A² (2) b²+c²=(A+x)² (3) a²+d²=(A+2x)² (4) c²+d²=(A+3x)² (2)-(1)+(3) aboutit à l'équation c²+d²=A²+6Ax+5x² A comparer avec l'équation (4) qui mène à poser (A+3x)²=A²+6Ax+5x².
il faut x=0. On ne peut pas faire un gâteau comme ça.
#10 - 08-02-2015 11:22:36
- Vasimolo
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gâteai 92
Oui Nodgim ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#11 - 08-02-2015 11:42:41
- kossi_tg
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Gââteau 92
Soient (C1), (C2), (C3) et (C4) respectivement les cercles du plus petit au plus grand. Leur centre commun est noté O Dans un repère orthonormé de centre O (dont on positionnera les axes parallèles aux côtés du rectangles pour simplifier les calculs), les équations des cercles sont:
- (C1): x^2+y^2=r^2
- (C2): x^2+y^2=(r+k)^2
- (C3): x^2+y^2=(r+2*k)^2
- (C4): x^2+y^2=(r+3*k)^2
où r est le rayon de (C1) et k l'écart entre les rayons.
Nommons le rectangle ABCD avec A sur (C1), B sur (C2), C sur (C4) et D sur (C3).
Soient L et l les côtés de ABCD. Si A(a,b) alors B(a,b+l), C(a+L,b+l) et D(a+L,b).
En introduisant les cordonnées de ces points dans les équations de leurs cercles, on a: * A sur (C1): a^2+b^2=r^2 (1); cette relation sera utilisée pour la suite.
* B sur (C2): l^2 +2*b*l=2*k*r+k^2 (2)
* C sur (C4): L^2+l^2+2*a*L+2*l*b=9*k^2+6*k*r (3)
* D sur (C3): L^2+2*a*L=4*k*r+4*k^2 (4).
En additionnant membre par membre les équations (2) et (4) on a:
(l^2 +2*b*l) + (L^2+2*a*L) = (2*k*r+k^2) + (4*k*r+4*k^2)
soit : L^2+l^2+2*a*L+2*b*l = 6*k*r+5*k^2 (5)
Les membres de gauche des équations (3) et (5) sont égaux donc les membres de droite le sont aussi; soit : 9*k^2+6*k*r = 6*k*r+5*k^2. On en déduit que 9*k^2=5*k^2 donc k=0
La réalisation de ce gâteau est donc impossible sauf d'avoir les 4 cercles de même dimension.
Voilà... sauf si une erreur s'est glissée quelque part ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
#12 - 08-02-2015 11:49:08
- Vasimolo
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âteau 92
Oui Kossi ![smile](img/smilies/smile.png)
On peut faire plus simple en raisonnant directement sur les longueurs sans passer par les coordonnées .
Vasimolo
#13 - 08-02-2015 13:20:56
- Franky1103
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Gâteau 992
Soit ABCD le rectangle centré sur O dans un un repère orthonormé. Les coordonnées des sommets de ce rectangle sont: A(-a;-b); B(-a;+b); C(+a;+b); D(+a;-b) et ceux du centre du cercle concentrique (x0;y0). A appartient au cercle de rayon R => (a+x0)² + (b+y0)² = R² (1) B appartient au cercle de rayon R+r => (a+x0)² + (b-y0)² = (R+r)² (2) C appartient au cercle de rayon R+3r => (a-x0)² + (b-y0)² = (R+3r)² (3) D appartient au cercle de rayon R+2r => (a-x0)² + (b+y0)² = (R+2r)² (4) (1) et (2) donnent: -4by0 = r(2R+r); (3) et (4) donnent: -4by0 = r(2R+5r) d’où: r(2R+r) = r(2R+5r) => r=0 Je trouve donc que les cercles doivent tous avoir le même rayon: c’est étonnant.
#14 - 08-02-2015 18:18:17
- Vasimolo
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âteau 92
Oui Franky ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#15 - 11-02-2015 18:29:54
- Vasimolo
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Gâteau 992
C'était donc impossible ![smile](img/smilies/smile.png)
Pas grand chose à ajouter aux démonstrations déjà produites .
Merci aux participants .
Vasimolo
#16 - 11-02-2015 19:09:10
- Franky1103
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Gteau 92
Ce n'était pas évident car, intuitivement, on peut penser qu'un tel gâteau doit pouvoir se construire. Comme quoi, les intuitions en mathématiques ... Dans un autre registre, il parait qu'on peut toujours construire un carré dont les quatre sommets appartiennent à une courbe fermée qui ne se croise pas elle-même et qui n'est même pas nécessairement dépourvue de "cassure", mais je crois que ce point a déjà été maintes fois discuté ici.
#17 - 11-02-2015 19:24:30
- gwen27
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Gâteaau 92
J'ai eu une piste sans calcul que je n'ai pas réussi à suivre... Fausse piste ou pas ?
Si on réduit les distances on arrive à 0 x 2x 3x soit le début d'un genre de spirale c e qui ne peut pas donner de rectangle.
Mais cette réduction se fait depuis le centre des cercles. Depuis le centre du rectangle on est sensé avoir toujours un rectangle. Je n'ai pas réussi à passer de l'un à l'autre ce qui serait un contresens et donc, une impossibilité.
#18 - 11-02-2015 19:29:59
- Vasimolo
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hâteau 92
Le problème du carré de Franky est toujours ouvert à l'heure actuelle .
Vasimolo
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