Soit ABCD le trapèze isocèle tel que AB=18cm et CD=32cm et E le point d'intersection des droites (AD) et (BC) pour former ECD un triangle isocèle.
(EH) la hateur du triangle CDE avec H le pied de la hauteur et F le point d'intersection de la hauteur et (AB) et R le rayon du cercle inscrit qui est le rayon que l'on cherche


d'après le théorème de Thalès [latex]{EB}\over {EC}[/latex]=[latex]{EF}\over {EF+2R}[/latex]=[latex]{9}\over {16}[/latex]
d'où [latex]EF={18R\over 7}[/latex] et donc [latex]EH={32R\over 7}[/latex]

d'après le théorème de Pythagore [latex]ED=\sqrt{({32R\over 7})^2+16^2}[/latex]=[latex]16\over 7[/latex][latex]\sqrt{4R^2+49}[/latex]

on a [latex]2S=p\times R[/latex] or [latex]2S=32\times {32R\over 7}[/latex]
et [latex]p=32+[/latex][latex]32\over 7[/latex][latex]\sqrt{4R^2+49}[/latex]
d'où [latex]32R=(7+\sqrt{4R^2+49})\times R[/latex]
et donc [latex]\sqrt{4R^2+49}=25[/latex]
[latex]4R^2=625-49=576[/latex] doù [latex]R^2=144[/latex] et donc R=12

Partant d'un point A extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes telles que AT = AT'. Cette propriété permet d'obtenir les longueurs des deux côtés non cotés du trapèze : 9+16=25.
Je découvre une situation de Pythagore avec une hypoténuse de 25 et un petit côté de 16-9=7. Le dernier côté a pour carré 25²-7²=576=24².
Alors 2R=24 donc le rayon de la tarte est de 12 cm.
J'aime la tarte au citron.

La tarte est un cercle inscrit du trapèze isocèle. Le sommet de la boite et son côté étant tangents à ce cercle, O1 est équidistant, ici A/2. De même, la base et le côté sont tangents à ce cercle, O2 est équidistant, ici B/2. Le côté mesure donc (A+B)/2. Pythagore nous permet de calculer la hauteur : (A+B)^2, qui est le diamètre de notre tarte. Avec A=18 et B=32, r(tarte)=12cm

Il est aussi intéressant de noter que le segment horizontal passant le point concourant des diagonales est indépendant de la hauteur to trapèze.

Ceci est sans doute lié à la constante qualité de ces énigmes qui nous donne l'occasion d'apprécier unelogique pas toujours évidente dans cette mécanique géométrique.

J'avais fait autrement mais bon la richesse naît de la diversité :



Tous les triangles sont semblables donc R²=9X16 et R=12 cm .

Merci pour toutes ces solutions

Vasimolo