Oui.

On choisit un angle de coupe initiale "a0" tel que 2 perles ne soient pas alignées selon cette direction.

En faisant varier la hauteur de la coupe (de haut en bas) , on va progressivement passer de 0 perles bleues dans la part du haut et 2n dans la part du bas jusqu'à n perles bleues en haut et n perles bleues en bas.
Il y a une bande de coupe B(a0) dans la direction a0 qui sépare le gateau avec le même nombre de perles bleues de chaque coté.

De la même façon, il y a une bande de coupe R(a0) qui sépare le gateau avec le même nombre de perles rouges de chaque coté.

Si B(a0) et R(a0) ont une intersection non vide, cette intersection définie des coupes séparant le gateau comme recherché.

Sinon, B(a0) est "au dessus" de R(a0).

On fait alors varier a et on définit a chaque fois B(a) et R(a).

Lorsque a1 est la direction d'un alignement de 2 perles (bleues par exemple), la bande B(a1) est réduite à une ligne puis quand a augmente à nouveau la bande s'élargit.
Par continuité, on voit que B(a) reste "au dessus" de R(a) même au franchissement de a1.

rem : on ne peut pas avoir B(a1) et R(a1) confondues en une ligne car 3 perles ne peuvent être alignées.

Lorsqu'on arrive à a0 + 180°, soit on a trouvé une intersection non vide de B(a) et R(a) entre a0 et a0+180, soit on arrive à avoir B(a0+180) au dessus de R(a0+180) ce qui est impossible puisque B(a0) = B(a0+180) et que la définition "au dessus" est inversée à +180°.

rem : un petit dessin vaut mieux qu'un long discours, mais je n'ai pas retrouvé mon compas
rem : les myrtilles et les groseilles sont peut être plus digestes que des perles ?!

Une petite aide et un peu de temps :

Même si dylasse n'en a pas eu besoin : Spoiler : [Afficher le message] le plus simple est de considérer dans un premier temps que les perles ( en sucre ) sont ponctuelles et imaginer une coupe en deux parts contenant le même nombre de perles ( sans se préoccuper des couleurs ) .

Bon courage

Je donne ma solution qui a des points communs et quelques différences avec celle de dylasse qui une fois de plus est arrivé à bout de cette ... énigme .

Je raisonnerais avec les valeurs de l'exemple huit bleues et quatre rouges , uniquement pour alléger le formalisme .

On suppose dans un premier temps que les perles sont réduites à un point ( sans épaisseur ) et on choisit une direction qui n'est pas donnée par deux perles . On part d'une droite extérieure au gâteau ayant cette direction et on se dirige vers le gâteau parallèlement à cette droite . On va traverser les perles une à une et on laissera donc à un moment donné six perles de chaque côté . Si le partage est équilibré on a fini sinon on fait tourner la coupe de façon à ce qu'elle atteigne un point de chaque part . On poursuit la rotation de façon à  dépasser légèrement les deux points de contact on obtient une nouvelle partition en 6 perles de chaque côtés . Et on continue ainsi jusq'au retour au point de départ .

Comme le retour à la position initiale se fait avec une inversion des parts , il y a eu nécessairement un passage par une position équilibrée en bleus et rouges .

Il reste à rendre aux perles leurs tailles initiales . Pour celà , on gonfle les perles en même temps en les laissant au besoin "pousser" la ligne de coupe ( celle-ci ne peut être tordue grâce aux condition initiales ) . On décolle encore la ligne de coupe des perles et on a fini .

Encore bravo à dylasse ( c'était vraiment pas de la tarte ) et bien sûr aussi à ceux qui ont essayé

Vasimolo