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 #1 - 26-08-2010 01:49:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,447E+3

Gâteau 2

Mon tourmenteur s'est mis aux gâteaux hexagonaux ( idée à la mode hmm ) . Pour décorer ces hexagones réguliers il utilise des losanges formés de deux triangles équilatéraux juxtaposés . La couleur de chaque losange est choisie en fonction de son orientation :

http://img822.imageshack.us/img822/3690/gteau.jpg

Il m'assure que la décoration nécessite toujours autant de losanges de chaque couleur , c'est vrai sur l'exemple ci-dessus mais peut-on trouver un contre-exemple ?

Bon courage smile

Vasimolo

Edit : suite à une remarque de dylasse , j'ai corrigé la figure qui présentait un défaut au centre sad

Merci à lui smile

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 #2 - 26-08-2010 08:28:34

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

Gââteau 29

Chaque pavage (ou décoration pour notre patissier) correspond à une vue en perspective d'un empilage de cubes unitaires dans un gros cube (5x5x5) sur l'exemple proposé.
De plus, les cubes sont soit entièrement visibles (sur 3 faces) soit entièrement cachés : un cube en partie caché aurait une face représentée par un triangle et non plus un losange.

Si on part du gros cube vide avec 25 faces de chaque couleur),
http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-gateau29_1.jpg
On ajoute successivement un nouveau cube ce qui fait un autre pavage :
http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-gateau29_2.jpg

Exprimé différemment, on peut dire que tous les pavages possibles sont réalisés à partir du pavage initial en opérant un renversement de 3 losanges formant un petit hexagone.
Cette opération conserve le nombre de losanges de chaque famille.

 #3 - 26-08-2010 10:57:17

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1935
Lieu: 86310

Gtâeau 29

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato29.png

A gauche un gâteau hexagonal donnant l'image d'un cube plein. Les couleurs sont équilibrées.

A droite le même gâteau hexagonal représente maintenant un cube plein dont un morceau est manquant. Le trou formé a la particularité de créer une face cachée. La couleur gris foncé devient majoritaire.

The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 26-08-2010 11:06:42

ohmygosh
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 4

Gâteauu 29

j ai rien compris tu pourais reexpliquer en francais s il te plait

 #5 - 30-08-2010 00:49:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,447E+3

gâtrau 29

Je réponds tout à l'heure ( j'allais dire demain smile )

Il me semble que j'ai ouvert un peu trop de sujets ces derniers temps et comme ici ou ailleurs j'aime aussi suivre d'autres problèmes je vais lâcher un peu de lest .

A tout à l'heure smile

Vasimolo

 #6 - 30-08-2010 23:00:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,447E+3

Gâteaau 29

Quelques remarque sur les solutions proposées :

La solution de dylasse est la plus naturelle ,  une perspective correspond à un pavage équilibré en losanges de chaque couleur mais comment prouver que tout pavage correspond à une perspective ?

Le contre-exemple de franck n'en est pas un car le triangle blanc central n'est pas pavable avec les losanges considérés sad

Il y a plusieurs façon de considérer le problème , celle qui me semble la plus visuelle :

http://img825.imageshack.us/img825/6864/solution.jpg

On part du milieu du coté gauche du losange supérieur gauche et on rejoint le milieu de son côté droit . On atteint alors le milieu d'un côté d'un nouveau losange et on renouvelle l'opération jusqu'à atteindre le côté droit du gâteau . On effectue la même opération en partant du losange juste en dessous du premier considéré et ainsi de suite . En fin de compte on obtient des chemins ( en rouge sur le dessin ) ne pouvant se croiser . Un coup d'oeil sur les hauteurs de départ et d'arrivée montre que sur chaque chemin le nombre de bleus est égal au nombre de jaunes . On peut renouveller l'opération sur chaque côté de l'hexagone et conclure que les trois couleurs sont également représentées .

Merci à dylasse pour la correction et la participation et à franck pour les jolies illustrations smile

Vasimolo

 

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