@Nombrilist : en effet, j'avais omis de préciser que les polygones devaient être réguliers, merci.

Ainsi, pas d'ambiguïté, "plus grand" signifie de manière équivalente "de plus grande aire" ou "de plus grand périmètre".

Je pense que cela converge, on trouve un produit de termes équivalents à cos(pi/n)
lorsque n tend vers l'infini.

Le produit des cosinus se comporte comme le produit de (1-k/n²), c'est à dire comme 1-la somme de k/n², dont on sait qu'elle converge.

Mais je ne sais pas faire le calcul exact.

Il semble assez évident que la limite n'est pas nulle et presque aussi évident que la calculer est impossible .

Déjà trouver le meilleur pentagone est assez coton

Il reste donc à trouver la bonne majoration .

En se limitant aux polygones à [latex]2^n[/latex] côtés le calcul est assez simple mais la contrainte est nettement moins pesante .

A suivre ...

Vasimolo

@gwen27 : tout à fait, c'est la bonne idée. Une démonstration de ce que tu affirmes dans la 2e phrase ? (peu importe la valeur numérique).

@halloduda : 1ere phrase : oui, c'est l'idée, moyennant tout de même une certaine simplification, laquelle ?
2e phrase : je ne sais pas démontrer tes deux "comme" (je ne dis pas que ce n'est pas simple, juste, ça ne me paraît pas évident), ok pour ton "dont".
3e phrase : moi non plus

@w9Lyl6n : 1ere phrase : OK (sauf que c'est l'inverse).
2e phrase : pas OK. Rien ne dit que l'aire du polygone suivant ne sera pas plus petite que ce que tu penses. Je pense que tu as fait une confusion entre "plus petit" et "plus grand" quelque part.

@Vasimolo : 1ere phrase : je suis d'accord.
2e phrase : chut, tu me gâches ma future énigme râtée

Bon courage pour la suite.

Je suis parti en enfermant chaque polygone entre ses cercles inscrit et circonscrit.
Mais, si le n-ième cercle inscrit est bien complètement à l'intérieur du (n-1)ième cercle inscrit, ce n'est pas le cas des cercles circonscrits successifs qui sont sécants.
Affaire à suivre ...

@Vasimolo & w9Lyl6n : tout à fait, bon raisonnement. Vous en êtes au même point que Gwen. Sans utiliser WolframAlpha, pouvez-vous obtenir par des moyens élémentaires quelque chose de suffisant pour conclure (la précision de votre réponse finale n'est pas nécessaire pour résoudre cette énigme) ?

@Franky1103 : une partie de ton idée est utile pour trouver la réponse, une autre partie t'aiguille sur une fausse piste.

PS pour w9Lyl6n : jolie figure

@portugal : mes excuses, je n'avais pas vu ton message #8. Et c'est parfait, bravo !

Par contre, je ne comprends pas tout de #14

@portugal : OK, là j'ai compris

C'est vrai que pour le coup j'ai été paresseux
je vais montrer que le log de la somme est minoré (ce qui revient à dire que la somme est > 0)
[TeX]cos(x) \ge 1-\frac{x^2}{2}[/TeX]
et ln(1+y) ~ y au voisinage de y = 0, donc pour y < 0 suffisamment proche de 0 ln(1+y) > 2y
On en déduit que pour n assez grand :
[TeX]ln(cos\left(\frac{\pi}{n}\right)) \ge -\frac{\pi^2}{n^2}[/TeX]
La somme des log est donc bornée ce qui assure l'existence d'une limite non nulle en passant à l'exponentiel.

Merci pour l'énigme

Mathieu

Je me dis que l'on va tendre vers un cercle et donc une aire de disque probablement différente de zéro ?

On remarque que lorsque le polygone passe de 2n à 4n cotés, le pourcentage de diminution du rayon est la moitié du pourcentage de diminution entre 2n et n.   


...n.............................100 (1-R2n/Rn)
de 100 à 200     2,419451029 %
de 200 à 400    1,221589792 %
de 400 à 800    0,613806951 %
de 800 à 1600    0,307662337 %
de 1600 à 3200    0,154021622 %

Le produit donne une valeur à peine moindre que la somme.

On peut estimer que le cercle à l'infini a un rayon de 95 % du rayon du polygone n=100*Pi

Soient rn et Rn les rayons des cercles inscrit et circonscrit du polygone régulier à n côtés. La surface Sn de ce polygone est égale à:
Sn = 2n.(rn)².sin(pi/n)/cos(pi/n) = 2n.(rn)².tan(pi/n)
On en déduit que: Sn tend vers 2.pi.(rn)² quand n tend vers l’infini. Il s’agit de voir maintenant si le rayon rn tend vers une limite non nulle quand n tend vers l’infini.
Soit N = n+1; on aura: rN >= Rn, donc: rN >= rn.cos(pi/n)
On en déduit: rn >= r3.cos(pi/3).cos(pi/4)…..cos(pi/(n-1))
Soit encore: log(rn) >= log[r3.cos(pi/3)] + log[cos(pi/4)] +…+ log[cos(pi/(n-1))]
Au voisinage de 0, on peut dire que: log[cos(pi/n)] vaut: pi² / 2n² (développement en série entière).
Comme deux séries de termes généraux positifs et équivalents sont de même nature, on en déduit que: log[r3.cos(pi/3)] + log[cos(pi/4)] +…+ log[cos(pi/(n-1))] converge vers une limite appelée A.
Donc la surface Sn tend vers 2.pi.(rn)² qui tend vers 2.pi.(r3)²/exp(2A) qui est strictement positif: CQFD.
Il resterait (mais ce n’est pas la question posée) à évaluer cette limite.