Je ne parviens pas à trouver le facteur manquant dont tu parles

Voici la méthode que j'ai utilisé :

Préliminaires :

Soit un triangle équilatéral de hauteur $h$ et de coté $c$

Ces deux grandeurs sont liées par la relation :
$$(\frac{c}{2})^2+h^2=c^2 \Leftrightarrow c=\frac{2}{\sqrt{3}}h \Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}c$$
Hauteurs des coupes successives dans le gâteau des aires :

L'aire de la part triangulaire est $A_1=\frac{h_1^2}{\sqrt{3}}$

L'aire de la part trapézoïdale qui suit est $A_2=\frac{h_2^2}{\sqrt{3}}-A_1$

On déduit alors du fait que $A_1=A_2$ la relation entre $h_2$ et $h_1$ : $h_2=\sqrt{2}h_1$

On montre ainsi par récurrence que $h_k=\sqrt{k}h_1$

En particulier $h_n=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\sqrt{n}h_1 \Leftrightarrow h_1=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{n}}c$

Au final $h_k=\frac{\sqrt{3}}{2}c\sqrt{\frac{k}{n}}$

Hauteurs des coupes successives dans le gâteau des périmètres :

Le périmètre de la part triangulaire est $P_1=3\frac{2}{\sqrt{3}}h_1$

Le périmètre la part trapézoïdale qui suit est $P_2=3\frac{2}{\sqrt{3}}h_2-\frac{P_1}{3}$

On déduit alors du fait que $P_1=P_2$ la relation entre $h_2$ et $h_1$ : $h_2=\frac{4}{3}h_1$

On montre ainsi par récurrence que $h_k=(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{3^i})h_1=\frac{1}{2}(3-3^{1-k})h_1$

En particulier $h_n=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{1}{2}(3-3^{1-n})h_1 \Leftrightarrow h_1=\frac{\sqrt{3}}{3-3^{1-n}}c$

Au final $h_k=\frac{\sqrt{3}}{2}c\frac{3-3^{1-k}}{3-3^{1-n}}$

Équation des lignes de coupe identiques :

On égalise les 2 expression obtenues précédemment pour obtenir l'équation :
$$\sqrt{\frac{k_a}{n}}=\frac{3-3^{1-k_p}}{3-3^{1-n}}=3^{n-k_p}\frac{3^{k_p}-1}{3^n-1}$$

Une réponse à tous

Tout le monde ( ou presque) arrive grosso-modo à cette formule en entiers naturels :
$$n(3^k-1)^2 \times 3^{2(n-k)}=m(3^n-1)^2$$
Avec $m<n$ et $k<n$ , $n$ désignant le nombre de parts .

Il y a beaucoup de paramètres dans la relation et $3$ est un facteur  possible de $m$ .

Bref contrairement à ce que j'ai annoncé , seule la démonstration d'Ebichu continue à me convaincre .

J'ai pu raté quelque chose ( c'est même fort probable )

Vasimolo

Oui , bravo Nodgim et Ebichu

Je pensais m'en sortir avec le facteur 3 comme dans la première version de Nodgim mais je m'étais un peu emmêlé dans mes indices .

Si chaque cas particulier est facile à traiter , la généralisation n'est pas complètement évidente , merci aux participants .

Vasimolo