Enigme Gâteau 129 2/2 @ Prise2Tete

Tonylation · #26

Salut !

Après calculs, j'arrive à la condition suivante, pour que l'ordonnée de la première découpe (en partant d'un sommet du triangle) soit la même dans les deux cas (condition nécessaire pour que les découpes soient les mêmes) :
$\sqrt(n) = 3(1 - (\frac{2}{3})^n)$
Pour n = 1 : c'est bien sûr vérifié.

Autrement, on n'a pas égalité :

Pour n = 2 et 3 : racine irrationnelle à gauche et membre de droite rationnel.
Pour n = 4 : on a une inégalité <.
Pour n entre 5 et 8 inclus : membre de gauche irrationnel et membre droit rationnel.
Pour n plus grand : membre de gauche supérieur ou égal à 3, et membre de droite inférieur strictement à 3.

Donc, n=1 excepté, on n'a jamais la même ordonnée, donc jamais le même découpage.

C'pas élégant, mais ça marche.

Sydre · #27

Je ne parviens pas à trouver le facteur manquant dont tu parles

Voici la méthode que j'ai utilisé :

Soit un triangle équilatéral de hauteur $h$ et de coté $c$

Ces deux grandeurs sont liées par la relation :
$(\frac{c}{2})^2+h^2=c^2 \Leftrightarrow c=\frac{2}{\sqrt{3}}h \Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}c$

L'aire de la part triangulaire est $A_1=\frac{h_1^2}{\sqrt{3}}$

L'aire de la part trapézoïdale qui suit est $A_2=\frac{h_2^2}{\sqrt{3}}-A_1$

On déduit alors du fait que $A_1=A_2$ la relation entre $h_2$ et $h_1$ : $h_2=\sqrt{2}h_1$

On montre ainsi par récurrence que $h_k=\sqrt{k}h_1$

En particulier $h_n=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\sqrt{n}h_1 \Leftrightarrow h_1=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{n}}c$

Au final $h_k=\frac{\sqrt{3}}{2}c\sqrt{\frac{k}{n}}$

Le périmètre de la part triangulaire est $P_1=3\frac{2}{\sqrt{3}}h_1$

Le périmètre la part trapézoïdale qui suit est $P_2=3\frac{2}{\sqrt{3}}h_2-\frac{P_1}{3}$

On déduit alors du fait que $P_1=P_2$ la relation entre $h_2$ et $h_1$ : $h_2=\frac{4}{3}h_1$

On montre ainsi par récurrence que $h_k=(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{3^i})h_1=\frac{1}{2}(3-3^{1-k})h_1$

En particulier $h_n=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{1}{2}(3-3^{1-n})h_1 \Leftrightarrow h_1=\frac{\sqrt{3}}{3-3^{1-n}}c$

Au final $h_k=\frac{\sqrt{3}}{2}c\frac{3-3^{1-k}}{3-3^{1-n}}$

Équation des lignes de coupe identiques :

On égalise les 2 expression obtenues précédemment pour obtenir l'équation :
$\sqrt{\frac{k_a}{n}}=\frac{3-3^{1-k_p}}{3-3^{1-n}}=3^{n-k_p}\frac{3^{k_p}-1}{3^n-1}$

Franky1103 · #28

Soit c le côté du gâteau triangulaire, que je découpe en k parts.
La longueur du n-ième segment à partir du haut est:
- pour des parts de même aire: L(n) = c . (n/k)^(1/2)
- pour des parts de même périmètre: L(n) = c . 3^(k-n) . (3^n – 1) / (3^k – 1)
Deux traits de couteau (pas forcément de même rang) sont identiques si:
c . (m/k)^(1/2) = c . 3^(k-n) . (3^n – 1) / (3^k – 1)
=> m = k . [3^(k-n) . (3^n – 1) / (3^k – 1)]^2
Or comme (3^k – 1) ne divise ni 3^(k-n) ni (3^n – 1), m ne peut pas être entier.
Donc on ne peut pas avoir deux traits de couteau identiques sur les deux gâteaux.

Vasimolo · #29

Une réponse à tous

Tout le monde ( ou presque) arrive grosso-modo à cette formule en entiers naturels :
$n(3^k-1)^2 \times 3^{2(n-k)}=m(3^n-1)^2$
Avec $m<n$ et $k<n$ , $n$ désignant le nombre de parts .

Il y a beaucoup de paramètres dans la relation et $3$ est un facteur possible de $m$ .

Bref contrairement à ce que j'ai annoncé , seule la démonstration d'Ebichu continue à me convaincre .

J'ai pu raté quelque chose ( c'est même fort probable )

Vasimolo

nodgim · #30

Je crois que j'ai.

m doit être entier. Il faut donc que n * (3^k-1)² / (3^n-1)² soit entier, le reste de l'expression étant une puissance de 3, donc premier avec 3^n-1. Le mieux qu'on puisse obtenir dans la simplification avec 3^k-1, c'est quand n = 2k. le résultat de la division est 3^k+1. Cette seule expression est plus grande que n = 2k, même sans mettre au carré. (ne pas oublier que n est > 9 car m vaut au moins 9). Donc m ne peut être entier.

Cas général de la simplification d'une fraction (3^n-1) / (3^k-1).

Le pgcd des 2 nombres vaut 3^pgcd(n,k) - 1 (on fait une série de divisions euclidiennes à la manière de la recherche du pgcd de 2 nombres. Le max de ce pgcd est quand pgcd(n,k)= k, c'est à dire quand n=pk. Dans ce cas, 3^pk - 1 s'écrit 2222...pk fois en base 2, et la division par 3^k-1 donne le nombre 1000..1000..1000...1, c'est à dire p-1 fois des séquences 1000...de k chiffres terminées par un 1. Si p = 2, le nombre résiduel de la simplification est 10000....1 de k+1 chiffres.

Vasimolo · #31

Oui , bravo Nodgim et Ebichu

Je pensais m'en sortir avec le facteur 3 comme dans la première version de Nodgim mais je m'étais un peu emmêlé dans mes indices .

Si chaque cas particulier est facile à traiter , la généralisation n'est pas complètement évidente , merci aux participants .

Vasimolo

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

#26 - 12-11-2016 23:24:59

gâteay 129

#0 Pub

#27 - 13-11-2016 01:46:17

Gâteau 12

#28 - 13-11-2016 10:03:29

Gtâeau 129

#29 - 13-11-2016 13:05:53

gâreau 129

#30 - 14-11-2016 10:52:53

Gâteau 219

#31 - 14-11-2016 16:56:35

Gteau 129

Réponse rapide

Sujets similaires

Pied de page des forums