Il faut résoudre:
13.A1 +   7.B1 + 0,2.C1 = 1000, avec: A1 + B1 + C1 + 2.ent(C1/5) = 100
17.A2 + 11.B2 + 0,2.C2 = 1000, avec: A2 + B2 + C2 + 2.ent(C2/5) = 100
23.A3 + 19.B3 + 0,2.C3 = 1000, avec: A3 + B3 + C3 + 2.ent(C3/5) = 100
Et aussi avec: C3 = C1 + C2, puisque: C1 < C2 < C3
Bon, ça fait: 9 inconnues et 7 équations

Pour simplifier, on va supposer que les cartes sont vendues par paquets de 5,
avec: Ci = 5.Di
13.A1 +   7.B1 + D1 = 1000, avec: A1 + B1 + 7.D1 = 100
17.A2 + 11.B2 + D2 = 1000, avec: A2 + B2 + 7.D2 = 100
23.A3 + 19.B3 + D3 = 1000, avec: A3 + B3 + 7.D3 = 100

En triturant, on trouve:
3450 = 45.A1 + 24.B1 = 59.A2 + 38.B2 = 80.A3 + 66.B3

Pour le premier magasin, on a quatre valeurs possibles:
(A1;B1;D1) = (50;50;0) ou (58;35;1) ou (66;20;2) ou (74;5;3)
Pour le deuxième magasin, on a une seule valeur possible:
(A2;B2;D2) = (34;38;4)
Pour le troisième magasin, on a deux valeurs possibles:
(A3;B3;D3) = (6;45;7) ou (39;5;8)

La condition C3 = C1 + C2 (ou D3 = D1 + D2) va donner deux solutions finales:
soit (A1;B1;C1;A2;B2;C2;A3;B3;C3) = (58;35;5+2;34;38;20+8;39;5;40+16)
soit (A1;B1;C1;A2;B2;C2;A3;B3;C3) = (74;5;15+6;34;38;20+8;6;45;35+14)

Remarque: je suis parti du principe que les cartes offertes font partie des cartes vendues, puisqu'elles sont sorties des magasins

Edit: je me suis planté dans un calcul élémentaire: il n'y a qu'une solution

bonsoir ,

@elpafio : bravo !

@Franky : bravo pour ta seconde  solution . C'est la seule de toute façon .

bonjour ,

Ebichu , tu achètes 5 cartes et tu ne refuses pas les 2 qui te sont offertes , non ?

Donc en toute logique , tu paies un multiple de 5 et tu sors un multiple de 7 .

Finalement j'aurais du préciser que les touristes étaient des rapetous .

Et ça se résout mathématiquement .

Ta solution suppose que tous les touristes achètent des paquets de 5+2 cartes. Mais il aurait pu y avoir des touristes qui n'achètent qu'une ou deux cartes, et qui n'ont donc pas de carte gratuite. Sans être rapetou, si les cartes sont moches, ça ne donne pas envie d'aller jusqu'à 5

Avec cette précision supplémentaire, la seule solution possible est 74-5-21 34-38-28 6-45-49.

Salut
Sauf erreur, je propose


Magasin 1 :
74 boites de chocolats + 5 boîtes de Biscuits + 3*5cartes + 6 offertes

Magasin 2 :
34 bouteilles d'alcool + 38 bouteilles de vin + 4*5cartes +8 offertes

Magasin 3 :
6 coffrets + 45 aquarelles + 7*5 cartes + 14 offertes


Bonne soirée

Commençons par normaliser le problème:
Soit x1 le chiffre d'affaire sur les cartes du premier magasin (forcément entier). On définit x2 et x3 de la même manière.
notons a,b,c,d,e,f le nombre d'objets -1 non cartes vendus dans chaque magasin, dans l'ordre de citation.
D'après ce que je comprend des messages précédents, les clients se sont arrangés entre eux pour profiter un max des réductions, le nombre de cartes vendues dans chaque magasin sera donc 7x1, etc...
On a donc
98 = a+b+7x1
98 = c+d+7x2
98 = e+f+7x3
980 = 13a + 7b + x1
972 = 17c + 11d + x2
959 = 23e + 18f + x3

980 <= 13a+7b+x1 <= 13(a+b)+x1 = 13(98-7x1)
Donc 13*7x1 <= 13*98 - 980
Soit 91x1 <= 294
Soit x1 <= 3

De même, x2 <= 5 et x3 >= 7
C'est donc le 3ème marchand qui a vendu le plus de cartes.

On a 972 = 17c + 11d + x2 = 6c + 11(c+d) + x2 = 6c + 11(98 - 7x2) + x2
Donc 972 - 11(98 - 7x2) - x2 = 0[6]
Soit (2 - x2) - x2 = 0[6]
Soit 2x2 = 2[6]
ou encore x2 = 1 ou 4 [6]
Comme x2 <= 5, x2 = 1 ou 4
La seule solution est donc x1 = 3, x2 = 4 et x3 = 3+4 = 7

Après dénormalisation:
Le premier marchand a vendu 21 cartes postales, 5 boites de biscuit et 74 boites de chocolat
Le deuxième marchand a vendu 28 cartes postales, 38 bouteilles de vin et 34 d'alcool local
Le troisième marchand a vendu 49 cartes postales, 36 aquarelles et 15 coffrets à couteaux

Purée, j'ai fait tout mes calculs en prenant 18€ pour l'aquarelle...
Le raisonnement reste exactement le même, on obtient 49 cartes postales, 45 aquarelles et 6 coffrets à couteaux...

Hello,
Donc si j’ai bien tout compris, les touristes achètent des lots de 7 cartes à 1€, chaque carte est un article.

Si Ai, Bi et Ci sont les articles des boutiques (Ci les cartes), on a
Ai+Bi+7Ci =100 (i)
nAi+mBi+Ci =1000 (ii) par exemple pour la première boutique, 13A1+7B1+C1=1000.

(i) donne Ci=14-Ki et Ai+Bi=7Ki+2, Ki entier entre 0 et 14.
(ii) donne Ai=[986-2m-(7m-1)Ki]/(n-m) et Bi=[(7n-1)Ki+2n-986)]/(n-m)

On obtient
A1=162-8K1 et B1=15K1-160. Impose K1 compris entre 11 et 14, et C1 entre 0 et 3
A2=160-12K2+(2-2K2)/3 et B2=19K2-158+(2K2-2)/3. Impose K2 entre 9 et 12, de la forme 3p+1. Donc K2=10. Et C2=4.
A3=237-33K3 et B3=40K3-235. Impose K3 = 6 ou 7, et C3=7 ou 8.

Nécessairement C3=C1+C2. Seule possibilité C1=3, C3=7. Le reste suit.
Boutique 1 : 74, 5 et 3 lots de cartes
Boutique 2 : 34, 38 et 4 lots
Boutique 3 : 6, 45 et 7 lots.

Les biscuits et les couteaux devaient être bien nazes.

Bonjour ,

et merci pour vos réponses . Je poste donc ma résolution :

Avant tout , comme la pièce de 1/7 euro n'existe pas encore , on comprend que les cartes postales doivent être vendues par lot de 7 dont 2 offertes.

1)   Les deux premières équations sont les suivantes :
[TeX]x + y + z = 100[/TeX]
[TeX]7x + 13y + \frac{z}{7} = 1000  [/TeX]
[TeX]49x + 91y + z = 7000  =>  49x + 91y + 100 - x - y = 7000 [/TeX]
Soit : [latex]8x + 15y = 1150 [/latex].

On résout l'identité de Bézout suivante :
[TeX] 8x + 15y = 1  [/TeX]
  Recherchons une solution particulière .
15 = 8 + 7 = 2 x 8  -  1  =>  8 x 2  -  15 x 1  = 1 ;             
x = 2  & y = -1  sont solutions particulières immédiates ;
  et 8x + 15y  = 8 x (2) + 15 x (-1)
   8 . (2 - x)  =  15 . (1 + y)  .  8 & 15 sont premiers entre eux ;
donc 8 divise 1 + y  et  15 divise  2 - x  .
1 + y = 8k   et  2 - x = 15k   =>   x =  2 - 15k  &  y =  -1 + 8k  .  (1)
On résout l'équation  8x + 15y = 1150   .  8 x (2) + 15 x (-1) = 1  ;  on multiplie par 1150 .
8 x 2300  +  15 x (-1150)  =  1150    est une solution particulière .  avec x = 2300  &  y = -1150   .

Alors avec (1)  ,  x = 2300 - 15k   et  y = -1150 + 8k   .  On cherche deux entiers   0 <  x & y < 100   .

2300 / 15  = 153.333..   ;  k = 153 est la plus grande valeur utilisable .

si k = 153 :  x = 5  ,  y = 74   &  z = 21    =>  7 x 5 + 13 x 74  +  3  = 1000  est vérifié .
si k = 152 :  x = 20 , y = 66  &  z = 14
si k = 151 :  x = 35 , y = 58  &  z = 7
si k = 150 :  x = y = 50  &  z = 0 

Seules les 3 premières solutions sont à retenir puisque des cartes postales ont été vendues .
D'où les 3 triplets solutions  (x , y , z) : (5 , 74 , 21) ; (20 , 66 , 14) ; (35 , 58 , 7) .

2) Dans le second magasin :
11x   +  17y  + z/7 = 1000  .
On procède de la même façon et on est amené à résoudre : 38x + 59y = 3450  .
Résoudre l'équation [latex]38x + 59y = 1[/latex]  . On peut trouver une solution particulière .
A la louche ,  59 = 38 + 21  , 59 = 2 x 38 - 17  ,
je multiplie tout par 3 ;  3 x 59 = 6 x 38  - 51
3 x 59 = 6 x 38 - 38 - 13  = 5 x 38  - 13  ;  je multiplie tout par 3  ;
9 x 59  =  15 x 38 - 39  =  14 x 38 - 1
Soit  14 x 38  -  9 x 59  = 1   =>   (x ; y)  = (14 ; -9)  est une solution particulière .     
La solution finale pour cette équation est unique : (x = 38  , y = 34  & z = 28).

3) dans le troisième magasin :
19x + 23y + z/7 = 1000 .  On finit par résoudre 33x + 40y = 1725  .
On résout donc : [latex]33x + 40y = 1[/latex]
Il en résulte 2 triplets solutions : (5 ; 39 ; 56) & (45 ; 6 ; 49) .
D'après l'énoncé , puis dans ce cas :  Z3 = Z1 + Z2  .  La solution est unique :

( 5 ; 74 ; 21 ) pour le premier magasin .
( 38 ; 34 ; 28 ) pour le second .
( 45 ; 6 ; 49 ) pour le dernier puisque 49 = 28 + 21 . ( 56 est trop grand ) .