Bonjour,

Voici ma réponse :
Spoiler : [Afficher le message] Un segment est une union non discrète de points. Les théorèmes sur les sommes de mesure portent sur des unions discrètes. Donc la sommation proposée n'est pas valide. C'est un paradoxe que l'on peut rapprocher du paradoxe de Banach Tarski, mais différent dans la mesure ou ici, on découpe un objet en un nombre non dénombrable de parties, là où dans Banach Tarski on découpe une sphère en un nombre dénombrable (et même fini) de parties non mesurables. Ces deux exemples montrent bien les conditions nécessaires pour sommer les mesures d'une partition d'un objet.
La réponse à ce paradoxe est que pour étudier une somme continue, il faut utiliser une somme intégrale, qui prend la limite d'une somme dénombrables d'objets mesurables (c'est ça qui pose les bases de l'intégrale de Lebesgue).
Un autre paradoxe (qui en est cette fois intimement liè) est en probabilité (qui comme on le sait, sont très fortement liée à la notion de mesure).
Si on prend un point uniformément sur le segment [0,1], la probabilité d'obtenir un nombre donné est toujours 0. Pourtant, ce n'est pas un évènement impossible. Par exemple, si on effectue un tirage et que l'on obtient la valeur x, la probabilité d'obtenir x était de 0. Pourtant, puisque on l'a obtenue, on sait que l'évènement est possible puisqu'il vient de se produire. Ainsi, on dit qu'un évènement de probabilité nulle (sur un univers infini) est dit quasi impossible si sa probabilité est de 0.

nodgim
Pour le deuxième paradoxe, c'est une confusion entre la notion de cardinalité et la mesure de l'ensemble.
Les ensembles [0,1] et [1,+infini[ ont même cardinalité mais une mesure distincte.

Par définition, un segment est un ensemble de points (l'ensemble des points situés entre deux points). C'est juste qu'il faut faire attention au fait à la notion de cardinalité dès que l'on essaye de sommer des choses.
Comme un segment et un ensemble discret de points ont une cardinalité différente, tout les résultats de mesure vont évidemment être différent.

(Et puis en théorie des ensembles, tout objet mathématique est un ensemble, alors )

bonjour,

il me semble que le point est un objet géométrique de dimension :0 , le segment comme la droite sont de dimension :1  .

Alors il faudrait dans ce cas sommer des aires pour obtenir des volumes . Comme on vit à fortiori dans un monde de fous , pourquoi pas !!

Est ce que la notion d "'adhérence " a été un de ces outils pour parvenir à faire rentrer un segment dans l'ensemble des points ?

Oui, on peut trouver des ensembles non mesurables sur R. (Voir Espace de Vitali). La construction n'est pas si facile... Sinon, dans R^n n > 2, on peut prendre les morceaux du paradoxe de Banach Tarski