Hello !
Ceci n'est pas une énigme, juste une petite lecture vulgarisée, pour passer le temps et donner du grain à moudre à votre cerveau pendant les vacances - pour ceux qui en prennent

L'idée est de montrer (simplement) que les mathématiques ne peuvent pas résoudre tous les problèmes - et qu'on peut utiliser les mathématiques pour le prouver !!!

J'ai re(re-re-re-re-re)lu récemment le texte d'Alan Turing (ici - en anglais : https://www.cs.virginia.edu/~robins/Tur … _1936.pdf) dans lequel il introduit la notion de machine - l'ancêtre de nos ordinateurs - à la base uniquement pour proposer une solution au "problème de la décision", tout ceci étant lié aux travaux antérieurs de Godel sur la complétude.

Tout ça, ce sont des mots assez compliqués, je me propose donc d'en faire une version simple (= qui ne nécessite pas des années d'études complexes pour être comprise).


On commence donc par définir une bijection de N^2 dans N, n'importe laquelle.
(Promis, c'est le seul gros mot que j'utiliserai )
Pour celles et ceux qui ne comprendraient pas la phrase précédente : je vais remplir le tableau ci-dessous diagonale par diagonale

15
10 16
 6 11 17
 3  7 12 18
 1  4  8 13 19
 0  2  5  9 14 20

etc...
A partir de 2 nombres entiers, je peux en sortir un 3ème (en regardant la ligne et la colonne correspondante) et vice-versa à partir d'un nombre, je peux trouver sa position dans la grille et retrouver sa ligne et sa colonne pour obtenir deux valeurs.

Ex : (3,2) ==> 18 (on démarre de 0, on compte 3 cases sur la droite, puis deux vers le haut)
Inversement 18 ==> (3,2)

On notera cette opération x * y (qui n'est pas x.y la multiplication, mais x "étoile" y)

Maintenant, c'est parti : je considère une phrase (une "propriété") sur les entiers, elle peut être vraie, ou fausse, suivant les entiers.
Ex : "N est pair" est vrai pour N=2 mais faux pour N=3

Il y a bien évidemment une infinité de propriétés, mais enfin on peut toujours les numéroter, en considérant l'ordre dans lequel on s'y intéresse.
La propriété "N est pair" par exemple serait la "propriété 0" puisque c'est la première qu'on rencontre.

On considère maintenant la propriété suivante (la "numéro 1" du coup) :

le nombre z correspond à (x * y) avec possibilité de prouver que x vérifie la propriété y

Par exemple : 2 est pair, donc (2 * 0) = 5 vérifie la propriété 1.
14 aussi : c'est (4 * 0) et 4 est pair.
9, non : c'est (3 * 0) et 3 est impair.

Voila donc ma propriété 1.


Maintenant, la propriété 2 :

x est un nombre qui ne vérifie pas la propriété 1

A l'inverse donc, 9 vérifie la propriété 2, mais pas 14 ou 5

Et pour finir, la propriété 3 :

x est un nombre tel que (x * x) vérifie la propriété 2

Par exemple 0 ne vérifie pas la propriété 3, puisque 0 = (0 * 0) correspond à la phrase "0 est pair", ce qui est prouvable, donc 0 vérifie la propriété 1 et donc ne vérifie pas la propriété 2.

Attention, le plot twist
On considère 25 = (3 * 3) :

- soit il vérifie la propriété 1 ( = on peut prouver que "3 vérifie la propriété 3")
Puisqu'il vérifie la propriété 1, il ne vérifie pas la propriété 2. Et donc, 3 est un nombre tel que (3 * 3) ne vérifie pas la propriété 2 ==> 3 ne vérifie pas la propriété 3
==> On peut dans ce cas prouver que "3 vérifie la propriété 3", alors que c'est faux

- soit il ne vérifie pas la propriété 1 ( = on ne peut pas prouver que "3 vérifie la propriété 3")
Puisqu'il ne vérifie pas la propriété 1, il vérifie la propriété 2. Et donc, 3 est un nombre qui vérifie la propriété 3 - puisque (3*3) vérifie la propriété 2
==> Il est impossible de prouver que "3 vérifie la propriété 3", bien que ça soit la vérité.


Conclusion de tout ça : s'il est possible de TOUT prouver, on peut prouver des résultats faux.
A l'inverse, si on se base sur des règles qui ne prouvent QUE des résultats justes, alors il est IMPOSSIBLE de tout prouver


Ca rappelle le célèbre paradoxe du barbier, qui rase dans son village tous ceux qui ne se rasent pas eux-même et uniquement ceux-là : qui rase le barbier ?
Quand il s'agit de barbiers, on aime trouver des astuces (genre "il va se raser ailleurs"), mais quand il s'agit de maths... c'est plus difficile