Bonjour ( et bonne année )
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Addition / égalité à partir de la suite des décimales de PI.

Sauf erreur, il faut donc piocher pour le sixième terme dans :


923078164 0628620899 8628034825 3421170679... ... ...


6ème terme :

9+2+3+0+7+8+1+6 = 36 = 4+0+6+2+8+6+2+0+8

Les décimales de pi sont un thème inépuisable originale.

Juste un détail
s'il s'agit des décimales de pi, alors le premier terme est (sauf erreur de ma part)
1 + 4 + 1 + 5 = 9 + 2

le second
6 + 5 + 3 + 8 + 9 = 7 + 9 + 3 + 2+ 3 +8 + 4

le troisième est assez lointain (sourire)²
...

Par ailleurs on peut considérer qu'il y aura ambiguïté dans ta suite
dans le cas où la somme recherchée s'arrête juste avant un zéro
(on peut alors le prendre en compte dans l'addition ou non ...)

Cela n'a  d'incidence sur les termes suivant que dans le cas où la suite des décimales est du type ,0 , a , a
si on a pris le 0 alors la suite sera du type a + a + ... = ...
si on ne l'a pas pris on peut alors écrire comme suite 0 + a = a)

Merci encore pour cette proposition originale

Bonne année

Coucou clanelle, jolie suite et jolie idée !

Je pense pouvoir prouver le résultat pour un nombre univers. A noter que d'après wikipedia, on ne sait pas si PI en est un.

l'idée est de construire une chaîne de nombres qui où qu'elle soit placée dans le nombre, entraînera le phénomène attendu.

Démonstration

lemme 1 : algorithme de découpage des décimales selon le problème de clanelle.

je propose de nous baser sur l'algorithme suivant, qui permet d'effectuer la découpe:

soit S la succession de décimales non encore découpées. soit A et B un ensemble de décimales éventuellement vides telles que S = A & B & Q avec Q la queue des décimales.

on note A <- B le fait de faire passer une décimales de B vers A (B rétrécit de 1 et A s'allonge de 1.)

On nomme Sa et Sb la somme des décimales de A et b

on commence avec A de longueur 1 et B de longueur 0.


L'algo suivant est un pas permettant de consommer la première lettre de la queue Q.

1) tant que Sa < Sb : A <- B
   remarques : après l'opération,  Q reste inchangé et Sa >= Sb

2) si Sb = Sa : afficher A,B dans la solution, A=vide, B=vide, A<-Q
   remarque : après opération, Sb-Sa \in [0,9]

3) sinon (et dans ce cas Sa > Sb) : B<-Q
    remarque : après opération, Sb-Sa \in [1, 17]

Avec cet algorithme, je peux prouver qu'après la directive (2) ou (3), Sb -  Sa est inclus dans [0, 17] 17 est le cas le pire quand un 9 passe de B à A.

Conclusion : quel que soit la dernière décimale parcourrue par l'algorithme de découpage, la différence entre les ensembles A et B est au plus de 17.

Construire une chaîne produisant un couplé de longueur arbitraire.

Grâce à cela, si je fais commencer une chaîne de décimales par 17 fois le chiffre 1, elle permettra nécessairement de crées un ensemble A B tel que Sa = Sb. restera un certain nombre de 1, qui formeront des couples

S = ..... (A=B) (1=1)... (1=1) 1?

il reste alors au plus un 1 non utilisé. ce qui signifier que la somme Sa sera connue à une unité près.

Ensuite, il ne reste "plus" qu'à prolonger par un million de décimales ne permettant pas de créer un couple.  sur cette partie là, je ma.que un peu d'inspiration, mais étant donné qu'on a 9 ou 10 décimales possibles à chaque pas de l'algorithme il paraît aisé d'éviter les cas d'égalité...

Remettons les idées en place :

pour tout N, il existe une chaîne de décimales qui qu'elle que soit sa position dans un nombre produit un couple de taille N.

Un nombre univers contenant par définitions toute séquence, pour tout N, le découpage "clanelle" d'un nombre univers contient un couple de taille N.

avec par exemple la taille définie par le nombre de décimales de A et B réunis.

A tâtons, je remplace les 17 '1' par '333311111' pour obtenir ce résultat.
Donc :
3333111117999.......99971 est selon moi la sous-chaîne de décimales la plus ramassée permettant, où qu'elle soit placée dans un nombre univers de dépasser n'importe quel nombre donné selon la suite évoquée.
Merci de votre attention & la bonne journée à tous .
Lionel