J'essaye :

1 -    Ah ben ça alors ! Quand kosmogol aura mon âge, Gadjo aura 55 ans !
2 -    L'année prochaine, j'aurai le double de l'âge qu'aura HAMEL dans trois ans
3 -    Nondediou ! Y a 9 ans, j'avais la moitié de l'âge qu'avait alors nipon !
4 -    Quand j'avais deux tiers de mon âge, le mien plus celui de nipon donnaient celui de Gadjo

Soit K, H, N et G les âges actuels.
L'âge de celui qui dit 1 est > K (et c'est H ou N).
L'âge de celui qui dit 2 est sans doute > H.
L'âge de celui qui dit 3 est < N.
L'âge de celui qui dit 4 est < G et N < G.

Résumons : 1) K < H ou K < N
2) H < ?
3) ? < N
4) N < G ; de plus, H < G ou K < G.

Si la 4 est d'Hamel (hypothèse), alors la 1 est de Nipon, et : K < N < G et H < G. Gadjo est le plus vieux, donc il a prononcé la 2, et la 3 est de Kosmogol.
Alors :

1) G + N - K = 55
2) G + 1 = 2 ( H + 3 )
3) 2 ( K - 9 ) = N - 9
4) 2/3 H + ( N - 1/3 H ) = G - 1/3 H

2) G = 2 H + 5
4) 2/3 H + N - 1/3 H - 2 H - 5 + 1/3 H = 0
==> -4/3 H + N - 5 = 0
==> N = 4/3 H + 5
3) 2 K - 18 = 4/3 H - 4
==> 2 K = 4/3 H + 14
==> K = 2/3 H + 7
1) 2 H + 5 + 4/3 H + 5 - 2/3 H - 7 = 55
==> 8/3 H + 3 = 55
==> 8/3 H = 52
==> H = 19,5 ans ; G = 44 ans ; N = 31 ans ; K = 20 ans et H < K < N < G, OK.

Je vérifie :

Nipon -    Ah ben ça alors ! Quand kosmogol aura mon âge, Gadjo aura 55 ans !
Dans 11 ans, Kosmo en aura 31, et Gadjo en aura 55.
Gadjo -    L'année prochaine, j'aurai le double de l'âge qu'aura HAMEL dans trois ans
Gadjo aura 55 ans dans un an, Hamel aura 22,5 ans dans 3 ans, soit la moitié.
Kosmo -    Nondediou ! Y a 9 ans, j'avais la moitié de l'âge qu'avait alors nipon !
Kosmo avait 11 ans, et Nipon 22.
Hamel -    Quand j'avais deux tiers de mon âge, le mien plus celui de nipon donnaient celui de Gadjo
Hamel avait treize ans il y a 6 ans et demi, Nipon avait alors 24,5 ans, et Gadjo avait 37,5 = 24,5 + 13.

OK, mon hypothèse était bonne. Donc :

Hamel a dix-neuf ans et demie
Kosmogol a vingt ans
Nipon a trente-et-un ans
Gadjo a quarante-quatre ans

Merci

Bon j'ai pris une hypothèse ( j'avais une chance sur deux et je sais pas s'il y a une logique pour y arriver): c'est kosmo qui dit la 4ème assertion.
Cela nous donne les quatre équations suivantes en prenant les quatre initiales comme âge de chacun:

1/  G + ( N-K) =55
2/  G+1 = 2 ( H+3 )
3/  H-9 = ( N-9 )/2
4/  2/3 K = G - N

on exprime K en fonction de N et G dans la 4, puis N et G en fonction de H dans les 2 et 3, on reporte dans la 1 et on trouve mon âge

H = 20 ans.... ouah... merci Le Singe
Et pour les autres:
Kosmogol à 21 ans, Nipon 31 ans et Gadjo notre doyen 45 ans.

Mais la question que tout le monde se pose: quel âge a Ef ?

Beau travail du Singe en tout cas.

Ma réponse

Gadjo: 45 ans
Kosmogol: 21 ans
Nipon: 31 ans
Hamel: 20 ans

1. Nipon dit: quand kosmo aura mon âge donc dans 10 ans, Gadjo aura 55 ans. OK
2. Gadjo dit , l'année prochaine j'aurai 46 ans qui est bien le double de l'âge d'Hamel dans 3 ans.OK
3. Hamel dit: il y a 9 ans, j'avais 11 ans moitié de l'âge de nipon à l'époque OK
4. Kosmogol dit quand j'avais les deux tiers de mon âge actuel (14 ans il y a 7 ans) Nipon avait 24 ans et Gadjo 38 ans. OK

Pour le démontrer trois combinaisons (H,N,G,K) (N,G,H,K) et (N K,G,H) de quatre équations du type

G-K+H = 55
K-2*H= 5
2*G-N= 9
3*H + 2*K - 3*G = 0

Ici pour la première combinaison.
C'est la deuxième qui marche.

Bien fichu une nouvelle fois, et pas si simple à trouver...

Nipon : Ah ben ça alors ! Quand kosmogol aura mon âge, Gadjo aura 55 ans !
     G + N - K = 55

Gadjo : L'année prochaine, j'aurai le double de l'âge qu'aura HAMEL dans trois ans
     G + 1 = 2H + 6

Hamel : Nondediou ! Y a 9 ans, j'avais la moitié de l'âge qu'avait alors nipon !
     2H - 9 = N

Kosmogol : Quand j'avais deux tiers de mon âge, le mien plus celui de nipon donnaient celui de Gadjo
     2/3K + N = G

Si tous les âges à trouver sont des nombres entiers, et qu'il n'y a qu'une seule solution, alors H=20, K=21, N=31 et G=45

L'auteur affirme que toute concordance avec la réalité ne serait que purement fortuite et il a raison

Cette énigme cachait effectivement un étape "logique" qui permettait ensuite de l'aborder plus simplement du côté "mathématiques".

Je tiens à noter :
- les bonnes réponses de toutes&tous Oui, même celle de Mathias, il a répondu avant que je ne précise que tous les âges n'étaient que nombres entiers, et dans tous les cas sa réponse est correcte. Sa démonstration est par ailleurs la plus précise. Même si son intuition (son avocat ? ) ne l'a pas guidé vers les nombres entiers.
- l'expérience de Gadjo, bien jeune encore, en espérant qu'il ne fera jamais le jeûne de P2T (message personnel Gadjo : ne change pas )
- que HAMEL se demande quand sortira la 46 quel est l'âge de Ef'
- que kosmogol et papiauche sont aussi adorables l'un que l'autre (je les verrais bien ensemble perso, pas vous ? )
- que nipon fait son petit curieux (t'as vraiment 31 ans toi ? )
- que le DOC, avec la rigueur qui lui doit son titre, est toujours présent : sa polyvalence est à noter les z'amis !
- et que Golfc roule en voiture allemande et qu'il a une très bonne jugeotte

Un grand bravo à vous, j'espère que vous aimez, parce que dans le cas contraire... je me vois dans l'obligation d'affirmer, que vous en aurez encore... des énigmes du même genre... (désolé je peux pas m'empêcher)