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 #1 - 10-01-2008 11:06:48

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

Les plus petits multiples des entiers de à n

Je vous ai déjà fait calculer les nombres multiples des entiers de 1 à 10 pourquoi ne pas essayer de généraliser le calcul.

quel est le plus petit nombre multiple de tous les entiers de 1 à 1 ?
1 (ou 0 smile)

quel est le plus petit nombre multiple de tous les entiers de 1 à 2 ?
2

...

quel est le plus petit nombre multiple de tous les entiers de 1 à 10 ?
2520

...

Existe-t-il une formule peut-être ?

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 #2 - 10-01-2008 11:42:52

Ptitloup
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 372
Lieu: Rennes (35)

Les plus petits multples des entiers de 1 à n

Il s'agit d'une simple décomposition en facteur premiers, et voir si cette décomposition n'a pas déjà été utilisée lors des précédentes décompositions... non ???!?
(ou alors tu veux une formule mathématique ?)

1 => x1
2 => x2
3 => x3
4 = 2x2 (2 déjà utilisé, donc on rajoute x2) => x2
5 => x5
6 = 3x2 déjà "utilisés" tous les 2 => x1
7 => x7
8 = 2x2x2 (2x2 déjà utilisé, donc on rajoute x2) => x2
9 = 3x3 (3 déjà utilisé, donc on rajoute x3) => x3
10 = 5x2 (déjà utilisés tous les 2) => x1

PPCM => 1x2x3x2x5x1x7x2x3x1 = 2520

on continue de la même manière pour les nombres qui suivent si on veut généraliser...

 #3 - 10-01-2008 11:56:59

4get9
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 16

Les plus petits multipls des entiers de 1 à n

j'avais commençé une explication mais je me suis embrouillé tout seul
je passe mon tour big_smile
EDIT : grosse faute d'orthographe

 #4 - 10-01-2008 13:35:16

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

Les plus petits multiples des entiers de 1 à

Voici le fruit de mes reflexions sur le sujet...

Pour ce qui est de déterminer N(i) le plus petit nombre divisible par tous les entiers de 1 à i, on peut employer la formule de récurrence suivante:

N(i+1) = (N(i) * (i+1)) / PGCD(N(i);i+1)

 #5 - 10-01-2008 14:02:13

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Les plus petits multilpes des entiers de 1 à n

Spoiler : [Afficher le message]
1:        1
2:        2
3:        6
4:        12
5 a 6:          60
7:         420
8:         840
9 a 10:           2520
11 a 12:      27720
13 a 15:      360360
16:        720720
17 a 18:      12252240
19 a 22:      232792560
23 a 24:      5354228880
25 a 26:      26771144400
27 a 28:      80313433200
et la formule est : x=PPCM(n) (plus petit commun multiple) wink

Sinon, tout ce que je fait c'est:
Spoiler : [Afficher le message] multiplier la puissance maximum de tous les nombres premier entre 1 et N.
Par exemple, pour 26, on cherche les puissance maximum entre 1 et 26, et on trouve 25 = 5^2, 16 =2^4 et 9=3^2, le reste sont les puissance 1 des autres nombres premier:
donc PPCM(25)=2^4 * 3^2 * 5^2 * 7 *11*13*17*19*23

Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
Site web

 #6 - 10-01-2008 22:32:06

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1968

les olus petits multiples des entiers de 1 à n

1 => 1
2 => 2
3 => 6
4 => 12
5 => 60
6 => 60
7 => 420
8 => 840
9 => 2520

Formule: c'est peut-être de la triche mais bon...
Formule par récurrence, et dans ce cas on a [latex]U_1=1 [/latex] et [latex] U_N= PPCM(U_{N-1}, N)[/latex]

Ou alors (ce qui revient au même soit dit en passant), si on considère les décompositions en facteurs premiers suivantes:
[TeX]U_{N-1}=\prod_{i=1}^{N-1} i^{\alpha_i}[/TeX]
[TeX]N=\prod_{i=1}^{N-1} i^{\beta_i}[/TeX]
(les exposants peuvent être nuls bien entendu)

Alors on a [latex]U_N = \prod_{i=1}^{N-1} i^{max(\alpha, \beta)} [/latex]

 #7 - 11-01-2008 12:05:37

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

Les plus petits multilpes des entiers de 1 à n

Je m'étais amusé à calculer la liste des 40 premiers nombres, le calcul est celui du PPCM ou [latex]ppcm(a,b) = \frac{|a b|}{pgcd(a,b)}[/latex]

Une méthode équivalente est de récupérer le dénominateur de [latex]U_n = \sum_{i=1}^n{ \frac{(-1)^{i+1}}{i}}[/latex]

Enfin informatiquement j'ai créé un programme un peu brut mais assez rapide :

Code:

int main() {
    int n;
    unsigned int i;
    short int j;
    int m = 1;
    int p;
    for (i = 1; i< MAX; i += p) {
        n = 1;
        for (j = 1; j <= m; j++) {
            if (i % j == 0) n++;
        }
        if (n > m) {
              while (i % m == 0) {
                    printf("%d %d\n",m,i);
                    p = i;
                    m++;
                    n = m;
              }
        }
    }
    return 0;
}

 #8 - 11-01-2008 13:29:23

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1968

Les plus peitts multiples des entiers de 1 à n

Une autre formule, sans récurrence (enfin si puisque [latex]\prod[/latex] implique quelque part une récurrence, mais on peux quand même calculer un terme sans se taper les précédents).

On nomme E(x)la partie entière de x, et on pose P la suite de nombres telle que
[TeX]P_i = i[/latex] si i est un nombre premier
[latex]P_i = 1[/latex] sinon


Alors on a le résultat suivant: le plus petit multiple commun à tous les nombres compris entre 1 et N est:
[latex]\prod_{\gamma=1}^{N}P_\gamma {}^{E(\frac{ln(N)}{ln(\gamma)})}[/TeX]
Cette formule est tirée du résultat de mon précédent post. En gros, les puissances des termes du produit ne peuvent qu'augmenter, et elles augmentent quand on passe une puissance dudit terme. Ex: pour N < 8, on cherche un multiple de 4 mais pas de 8, pour N=8 on multiplie ce nombre par 2

 

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