Le nombre de diviseur d'un nombre c'est la multiplication de chacun des exposant d'une décomposition en facteur premiers, augmentés de 1.

Si x = a^b+c^d, alors le nombre possède (b+1)*(d+1) diviseurs.

Le but est donc de trouver ces exposants minimisant le nombre de départ.

Je n'ai pas de vrai méthode, mais sans réfléchir longuement :

Sachant que la décomposition en facteurs premiers de 1000000 est 2^6*5^6
On peut imaginer un nombre tel x = a^(2^6-1)*b^(5^6-1) qui aura 1000000 diviseurs.
Le plus petit est : $2^{15624}3^{63}$

Peut-on réitérer cette méthode ? Je pense que oui, je reviendrais sur ce topic.

Edit : me revoilà.

Alors, 15625 = 5^6, on cherche donc un premier facteur tel x = a^(5-1)*b^(5-1)*c^(5-1)*d^(5-1)*e^(5-1)*f^(5-1)

et 64 = 2^6, on cherche donc un second facteur tel x = a^(2-1)*b^(2-1)*c^(2-1)*d^(2-1)*e^(2-1)*f^(2-1)

Le plus petit possible est :
$$2^4 3^4 5^4 7^4 11^4 13^4 17\times19\times23\times29\times31\times37$$
Je m'aperçois que ma méthode n'est surement pas la bonne car elle sous entend que l'on pourrait continuer.

En tout cas, par tatonnement informatique, la réponse qui semble la plus petite :
$$2^9 3^4 5^4 7^4 11^4 13^4 17\times19\times23\times29\times31 = 173804636288811640432320000$$

C'est un problème intéressant

J'appelle $N$ ce nombre. Sa décomposition en facteurs premier peut s'écrire $N=2^{r_1}\times 3^{r_2}\times 5^{r_3}\times \dots\times p_n^{r_n}$, avec $r_1\ge r_2\ge\cdots\ge r_n$ pour avoir N le plus petit possible.

Comme $N$ possède exactement $\prod_{i=1}^n(1+r_i)$ diviseurs, il faut chercher $n$ et les $r_i$ tels que $\prod_{i=1}^n(1+r_i)=10^6=2^6\times 5^6$. En particulier, les $1+r_i$ sont à choisir parmi les diviseurs de $2^6\times 5^6$.

Ensuite, je pense qu'il vaut mieux choisir $n$ grand pour avoir des exposants plus petits, mais je n'ai pas le courage d'essayer de de le démontrer. Donc je propose le nombre suivant :

$N=2^4\times 3^4\times 5^4\times 7^4\times 11^4\times 13^4 \times 17\times 19\times 23 \times 29 \times 31 \times37$.

un nombre de la forme $p_1^{n_1-1}\times p_2^{n_2-1}\times \ldots \times p_k^{n_k-1}$ où les $p_i$ sont des nombres premiers, a $n_1\times n_2 \times \ldots \times n_k$ diviseurs : tous les $p_1^{i_1}\times p_2^{i_2}\times \ldots \times p_k^{i_k-1}$ avec $i_1 \in 0..n_1-1, i_2 \in 0..n_2-1, \ldots, i_k \in 0..n_k-1$

Pour trouver le plus petit nombre qui a exactement un million de diviseurs il faut donc que le produit des exposants des facteurs premiers soit un million :
$$n_1\times n_2 \times \ldots \times n_k = 1000000=10^6=2^6*5^6$$
Bien évidemment on utilisera les plus petits nombres premiers et on prendra soin d'attribuer les plus gros exposants aux facteurs premiers les plus petit.


on cherche donc le minimum des $2^{n_1-1} \times 3^{n_2-1} \times 5^{n_3-1} \times \ldots$ avec  $n_1 \le n_2 \le \ldots \le n_k$ et $n_1\times n_2 \ldots n_k = 2^6*5^6$

soit aussi le min des $(n_1-1)\log (2) + (n_2-1) \log (3) + (n_3-1) \log (5) +\ldots$

À partir de là on peut écrire un algorithme rapide sans se soucier de la taille des nombres utilisés en décomposant les $n_i$ en produits de $2^{a_i}\times5^{b_i}$ avec $\sum a_i = \sum b_i = 6$

1000000 contient 6 facteurs 5 et 6 facteurs 2.
Un nombre raisonnable ayant 1000000 de diviseurs est
$$A_1 = 2^4* 3^4 *5^4 *7^4 *11^4 *13^4 *17 *19 *23 *29 *31*37$$
On voit cependant que 37 est plus grand que $2^5$, d'où l'amélioration suivante :
$$A_2 = 2^9* 3^4 *5^4 *7^4 *11^4 *13^4 *17 *19 *23 *29 *31$$
Vouloir utiliser $2^{24}$ ou $3^9$ serait déraisonnable, donc je m'arrête là...

2^999999 ?
qui compte pour diviseur 1,2,4,8,16 ......

je me suis fait eu

mais "le meilleur meilleur moyen de resister a la tentation est d'y ceder"

Tu aime les S, toi!
anonymeS certainS nombreS

Regarde les réponses données au-dessus Celles d'EfCeBa, Emaths et Scrablor sont bonnes, et Vasimolo résume leur méthode quelques posts au-dessus de celui-ci