Soit un chemin donné (droite passant par F), faisant un angle t avec Ox, et coupant Ox en A et Oy en B.
Si l'on décale le chemin d'un angle dt dans le sens des aiguilles d'une montre, on va ajouter (au premier ordre) un secteur d'angle dt et de rayon FB et on va oter un secteur d'angle dt et de rayon FA : cette opération est intéressante si FA et plus grand que FB, elle n'est pas intéressante si FA est plus petit. La position optimale correspond donc à FA=FB.

Dans cette position, F est le milieu de AB (OF est une médiane de OAB).
Pour tracer A et B, on trace C tel que F soit le milieu de OC et on trace le parallélogramme OACB.

On va se placer dans un repere orthonormé (O;i;j)
la droite (Oy) à pour équation y=ax
Soit F le point de coordonnées ($x_f;y_f$) avec $y_f<ax_f$
on veut savoir où on va placer un point M sur (Ox) et N sur (Oy) tel que F appartient à [MN]et que l'aire du triangle OMN soit minimale

M appartient à la droite (Ox) alors M($x_m;0$)
La droite (MF) aura pour équation $y={y_f\over{x_f-x_m}}x-{{x_m\times y_f}\over{x_f-x_m}}$
Donc le point N est sur la droite (Oy) et sur la droite (MN)
donc $y_n=ax_n et y_n={y_f\over{x_f-x_m}}x_n-{{x_m\times y_f}\over{x_f-x_m}}$ d'où $x_n={{x_m\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}} et y_n={{ax_m\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}}$

on a OM=$x_m$ et ON=${{x_m\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}}\times\sqrt{1+a^2}$

Alors l'aire du triangle = ${1\over 2}OM\times ON sin (MON)={{x_m^2\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}}\times\sqrt{1+a^2}\times sin (MON)/2$

Puisque la droite a pour coefficient directeur a alors $sin(MON)={a\over\sqrt{1+a^2}}$

donc l'aire du triangle OMN$={{x_m^2\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}}\times {a\over2}$

Soit f(x)=${{x^2\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x)}}\times {a\over2}$
alors f'(x)$={ay_f\over2}\times {{2x(y_f-a(x_f-x))-ax^2}\over{(y_f-a(x_f-x))^2}}={ay_f\over2}\times {{2x(y_f-ax_f))+ax^2}\over{(y_f-a(x_f-x))^2}}$

f' est du signe de $2x(y_f-ax_f))+ax^2$ car tous les autres membres sont positifs donc la fonction f aura deux minimum en 0 et ${2(ax_f-y_f)\over a}$

Donc il faut placer le point M sur la droite [Ox) tel que OM=${2(ax_f-y_f)\over a}$ pour trouver que l'aire du triangle OMN soit minimale

En faisant un petit bout de chemin entre la croisée des deux routes et la ferme il rejoint les deux route et désenclave completement sa parcelle donc une droite OF

Enfin c'est ce que je ferai si j'etais lui

A+