Qu'est-ce qu'il ne faut pas lire...

Les données du problème des deux enveloppes ne sont pas en rapport avec la réponse que l'on cherche, on ne peut déduire aucune probabilité ? Premier n'importe quoi.

En revanche, l'IMC du capitaine fait pencher les probas de son âge ? Allez, on continue dans l'absurdité, maintenant l'âge du capitaine est plus facilement trouvable qu'une espérance de gain à un jeu de hasard standard.

C'est totalement n'importe quoi

Ou alors c'est la signification du terme "a priori" qui vous échappe dans la phrase "on peut calculer l'espérance a priori".

En tout cas, en tant que prof de maths, j'hésite entre la franche rigolade et la profonde déprime ; je vais donc choisir la solution intermédiaire : le rire aux larmes hystérique

Attendez ... ne prenez pas les analogies avec le problème de l'age du capitaine trop au sérieux. C'est une manière d'illustrer et d'agrémenter mon propos, rien de plus. Si l'analogie vous blesse j'en suis désolé ... et je ne défendrait pas mon analogie plus longtemps !

En revanche, concernant le calcul de l'espérance de gain du joueur, là, je ne comprends pas ce qui cloche !

Si le joueur ne change pas, il gagne 100 euros, à coup sûr. Ok, là tout le monde est d'accord.

Maintenant, si le joueur change d'enveloppe ... qu'elle est son espérance de gain ?
Facile, c'est : E= P x (-50) + (1-P) x (+100)

P étant la probabilité pour que la seconde enveloppe contienne 50 euros. 1-P est la probabilité pour que la seconde enveloppe contienne 200 euros.

Jusque là, vous suivez ?

Ensuite, tout le problème, c'est justement d'estimer P à partir des données de l'énoncé.

Malheureusement, P est totalement inconnu. Aucune information dans l'énoncé ne permet d'estimer, même vaguement, la probabilité P. C'est une valeur entre 0 et 1, inclus. Donc, E est un nombre entre -50 et +100 sans qu'on puisse en dire davantage.

Or, pour conclure, il faudrait avoir une estimation de E. Si E est supérieur à 0, il vaut mieux changer. Si E est inférieur à 0, il vaut mieux garder. Si E vaut 0 exactement, ça ne change rien. Mais, si E est totalement inconnu ... ben on ne peut rien dire.

Pour la valeur de P, je vois apparaitre des 1/2 à certains endroits, des 2/3 aussi ailleurs. Mais ces probabilité sortent d'où ? En tout cas, pas des données de l'énoncé !

Kosmogol, oui, je suis tout à fait d'accord avec toi que proposer 50 euros à un jeu télé, c'est un peu "petit bras". 200 euros, c'est plus crédible.

J'adhère tout à fait à ta démarche ... et, oui bien sûr, l'énoncé autorise  tout à fait ce genre d'analyse. Je n'ai pas de soucis avec ça.

D'ailleurs, je dis même ça depuis le début. Je ne cesse de clamer à qui veut l'entendre que seul des raisonnements de ce genre, faisant intervenir des éléments extérieurs à l'énoncé (psychologie, habitude de ce genre de jeu, etc) permettent de formuler une réponse à la question.

En revanche, ce que certains ne semblent pas vouloir comprendre (pas toi Kosmogol), c'est que l'approche mathématique, à base de calculs de probabilité portant sur les données directement incluses dans l'énoncé, ne permet pas de répondre à la question posée. C'est une impasse. (Heu ... comme pour l'age du capitaine ... oups ... ok, je sors).

Tu dis : "a priori (c'est-à-dire sans connaître plus d'informations), les deux situations sont équiprobables". C'est là que je ne suis pas du tout d'accord.

Si quelqu'un prétends que demain, Dieu peut apparaitre subitement au sommet de la tour eiffel. On peut dire que, soit Dieu apparait, soit il n'apparait pas. Donc, à priori (c'est-à-dire sans connaitre plus d'informations), diras-tu qu'il a une chance sur deux d'apparaitre ?

C'est pareil pour le 200 et le 50. Peut-être que les organisateurs du jeu appartiennent à une secte qui ne manipule jamais de billets de 200 euros, par principe ?

Vraiment, tu ne peux pas dire, juste sous prétexte que l'énoncé ne dis rien à ce propos, qu'il y a équiprobabilité du 50 et du 200. C'est une utilisation abusive des probabilités. Ou alors, précise dans quel espace de probabilité tu te places ?

hlbnet a écrit:

Si quelqu'un prétends que demain, Dieu peut apparaitre subitement au sommet de la tour eiffel. On peut dire que, soit Dieu apparait, soit il n'apparait pas. Donc, à priori (c'est-à-dire sans connaitre plus d'informations), diras-tu qu'il a une chance sur deux d'apparaitre ?

Non, car j'utilise implicitement d'autres informations que celles qui sont données, à savoir mes certitudes préalables quant à la nature de Dieu et ses "envies" ou "volontés".

(Pensant pour ma part que Dieu n'a rien à voir avec ce vieux barbu à auréole triangulaire qu'on nous représente de partout, je suis persuadé qu'il n'apparaîtra jamais nulle part sous une forme vaguement humanoïde. En revanche, je pense qu'en tant qu'essence du monde, Il est déjà partout, y compris en haut de la Tour Eiffel, à n'importe quel moment. Selon comment tu tournes le problème, la réponse change, comme quoi, visiblement, Dieu n'a pas sa place dans des maths )

Tout ça pour dire qu'ici il y a d'autres données que celles explicitement fournies par l'énoncé, et ta question joue là-dessus, en détournant de la logique brute par le "bon sens" (disons plutôt par une sorte de préscience collective). Je parle seulement de logique, ton "problème" d'apparition de Dieu joue sur le hors-sujet.

(Et Flying_pyros t'a bien eu avec sa réponse )

"Il dit qu'il voit pas le rapport"

Le Kosmo qui sommeille en moi a écrit:

"C'est pas faux."

hlbnet a écrit:

Attention, je ne veux pas dire que tu n'es pas balaise en math ... et tu l'es à coup sûr davantage que moi. Mais, tout le monde peut se tromper ... même Einstein.

"Attention, je ne veux pas dire que tu te trompes, mais je pense vraiment que tu te trompes"

Le 1/2 "sorti de mon chapeau" est simplement l'expression du fait qu'en répétant suffisamment de fois l'expérience "j'ouvre la deuxième enveloppe sachant que la première contient 100 et sans rien présupposer", j'obtiendrai des fréquences de 50 et de 200 qui tendront toutes deux vers 1/2.

Je conclurai ce débat stérile mais passionnant (et je ne parle pas que de mes contributions, aussi égocentrique puis-je pourtant être ) par cet extrait intéressant de l'article de Wikipedia sur les probabilités :

Ainsi, même si des pléthores d'expérimentations valident ou non chaque jour des myriades de modèles, rigoureusement, on ne peut affirmer que la probabilité qu'une pièce jetée en l'air retombe sur pile soit 1/2. Tout au plus, on peut faire cette hypothèse de modélisation. Mais cette hypothèse peut avoir diverses conséquences selon, par exemple, que l'on accepte ou non l'existence de l'infini. (Bien sûr, on peut imaginer l'infini en mathématique, la question qui reste ouverte est : cet infini a-t-il une existence concrète ? et peut-on envisager des modèles dans lequel il n'intervient pas ?) Supposons qu'une pièce a la probabilité 1/2 de faire pile, et 1/2 de faire face. Supposons de plus que l'on vient d'assister à 10 lancer de cette pièce sur pile. Oméga est l'ensemble des lancer possibles de cette pièce et A est l'ensemble des lancer possibles donnant un face. On sait que la mesure de A divisée par celle de Oméga vaut 1/2. La probabilité de faire face, après avoir assisté aux 10 lancer de pile est alors la mesure de A divisée par : la mesure de Oméga moins la mesure de l'ensemble B correspondant aux 10 lancer ayant donné pile. La probabilité dépend du choix de la mesure, mais si l'on n'accepte pas l'hypothèse de l'existence réel de l'infini, la mesure qui s'impose dans un modèle est celle du dénombrement, on obtient alors que l'on a un peu plus de chance de faire un face qu'un pile si l'on vient d'assister à 10 réalisations de piles. (Cette probabilité est (M /2) / (M -10), où M est le nombre, que l'on ne connait pas, des lancer possibles de la pièce). Ce modèle, bien sûr, n'est pas utilisable en pratique, et on pense communément qu'il est possible de lancer un pièce une infinité de fois. ("Possible" étant à prendre au sens le plus large, c'est-à-dire ici cela pourrait donner qu'il est possible que la pièce survive à la destruction de la Terre et continue d'être lancée par des extra-terrestres...) Avec cette hypothèse commune, il s'ensuit que la mesure de B devient négligeable (car c'est 10 devant l'infini) et que l'on a autant de chance de faire un face qu'un pile, même si l'on vient d'assister à 10 réalisations de piles. (C'est l'indépendance des évènements traitée ci-dessous.)

Finalement, penser que l'on a autant de chance de faire un face qu'un pile, même si l'on vient d'assister à 10 réalisations de piles, est donc une croyance et n'a aucun caractère de vérité en dehors d'un modèle probabiliste. Par-ailleurs, c'est le bon sens communément partagé, en l'occurrence celui qui nous fait penser que des lancer de pièces sont indépendants, qui impulse la théorie et qui rend le concept mathématique de l'infini pertinent. Et non l'inverse : on ne peut donc pas démontrer que, dans la réalité, les lancer de pièces sont indépendants. Ce sont en fait les probabilités qui sont conçues pour coller à cette hypothèse.

D'où corollaire : probabilité et réalité ne sont pas du tout la même chose (toujours veiller à ne pas confondre les deux).

Milou_le_viking, de quelle probabilité parles tu ?

Celle d'un pile-ou-face, évoqué juste ci-dessus, ou bien celle qui est évoquée plus haut (probabilité que la seconde enveloppe contienne 50 ou 200) ?

hlbnet a écrit:

Milou_le_viking, de quelle probabilité parles tu ?

Celle d'un pile-ou-face, évoqué juste ci-dessus, ou bien celle qui est évoquée plus haut (probabilité que la seconde enveloppe contienne 50 ou 200) ?

Je me suis permis de ne pas préciser vu que ça revient à la même probabilité.

Je ne vois pas ce qui te bloque.
Au départ, tu as deux enveloppes dont tu ne connais pas le contenu. Tout ce que tu sais c'est qu'un des contenu est deux plus important que l'autre. Tu tires au hasard et tu as donc une chance sur deux d'avoir la somme la plus élevée. Le problème, c'est que tu ne le sais pas même en voyant les 100€ et l'information qui te permets de le savoir se trouve dans l'autre enveloppe. Tu as toujours 50% de chance que les 100€ que tu as en mains soit la somme la plus élevée, c-à-d aussi 50% de chance qu'il n'y ait que 50€ dans l'autre enveloppe. Et donc également 50% de chance que 100€ somme la plus petites des somme et que 200€ soit dans l'autre enveloppe.

Bref, qu'on parle de pile ou face, ou d'enveloppe pleine de sous x ou 2x, 50e ou 200€, la probabilité est 50%.

La logique et les mathématiques n'ont rien à voir avec la démocratie. C'est pas parce qu'on est deux qu'on a raison. C'est pas non plus pour ça qu'on a tord.

Je pense avoir raison parce que je trouve ça logique.

Dis moi quelle est l'étape qui te pose problème :

1.- Tu as deux enveloppes, l'une contient X et l'autre contient 2X.
2.- Si tu tires au hasard, tu as 50% de chance de tomber sur X et 50% de chance de tomber sur 2X.
3.- Le fait de trouver 100€ dans l'enveloppe ne t'apporte aucune information quant aux satistiques.
4.- Il n'y a donc pas lieu de les changer.

5.- Il te reste les possibilités suivantes :

50% de chance d'avoir X=100€
(et donc 2X=200€ dans l'autre enveloppe)

50% de chance d'avoir 2X = 100€
(et donc X=50€ dans l'autre enveloppe)

6.- A partir de là, tu utilises la définition de l'espérance de gain pour trouver ceci :

Espérance de gain en tirant la seconde enveloppe = 50% * 200€ + 50% * 50€ = 125€

7.- 125€ étant supérieur à 100€, il est statistiquement avantageux de tirer la seconde enveloppe.

Je pense avoir saucissonné le raisonnement au maximum. On va forcément finir par tomber d'accord.
Dis-moi à quelle étape ton raisonnement diffère-t-il du mien ?

Milou a écrit:

il est statistiquement avantageux de tirer la seconde enveloppe

[Mode Fabien Barthez] Je peux dire une connerie ? [/mode Fabien Barthez]

Le terme "statistiquement" me gêne un peu ici... Je comprend parfaitement ton raisonnement qui est très clair.
Mais pour moi, tu pourrais faire des statistiques si tu avais le droit à 100 tirages, par exemple. Là, ok, ton espérance de gain tendrait vers 125 € de moyenne.
Mais dans la réalité, ici tu n'as qu'un seul tirage possible.
- 50% d'avoir 50 € et donc de perdre 50 €.
- 50% d'avoir 200 € et donc de gagner 100 €.
Certes le montant de ton gain possible sera plus important que celui de ta perte possible mais ta chance d'avoir un gain reste de 50%.

Maintenant question aux spécialistes : Peut-on tirer une statistique générale d'un seul tirage comme ici ?

C'est l'étape 5 qui me semble hasardeuse dans ce raisonnement.

Lorsque tu dis :

50% de chance d'avoir X=100€
(et donc 2X=200€ dans l'autre enveloppe)

50% de chance d'avoir 2X = 100€
(et donc X=50€ dans l'autre enveloppe)

... je pense que tu viens d'introduire une probabilité (50%) qui n'est pas dans l'énoncé.

Donc, cherchons à répondre à cette question :
"Quelle est la probabilité pour que X=100€ ?" en définissant X comme "la plus petite valeur contenue dans les deux enveloppes".

Le soucis c'est qu'il est très facile de confondre cette probabilité avec la probabilité de 50% qui vient du tirage à pile ou face. Je pense qu'en reformulant la question posée à cette étape, ce sera plus clair.

A cette étape, le joueur possède 100€ en main. Il sait que l'autre enveloppe contient soit 50€ soit 200€ et la question devient :
Quelle est la probabilité pour que les organisateurs aient choisit de mettre (100,50) plutôt que (100,200) dans les enveloppes ?

C'est une reformulation fidèle, non ?

On voit mieux ainsi que la probabilité que la seconde enveloppe contienne 50 ou 200 n'est pas liée au tirage aléatoire qui précède.
Elle est uniquement liée à la manière dont les organisateurs du jeu ont décidé du contenu des enveloppes.
Dire que les organisateurs avaient une chance sur deux de mettre 50 plutôt que 200 dans la seconde enveloppe, c'est une affirmation qui ne vient ni du tirage à pile ou face, ni d'aucune donnée de l'énoncé. On ne peux pas dire que les organisateurs avaient statistiquement une chance sur deux de choisir 50 plutôt que 200. En outre, le fait de savoir que l'enveloppe 1 contient 100€ ne dis strictement rien sur le fait que la seconde contienne plutôt 50€ ou plutôt 200€.

Pour moi, l'erreur dans ton raisonnement est de confondre deux probabilités qui ne sont pas obligatoirement égales.

Voici un autre calcul de probabilité, dis moi ce que tu en penses :

Au départ, on sait q'une enveloppe contient X et l'autre 2X et on ne sait rien sur X. En tirant au hasard, le joueur à une chance sur deux de tomber sur X et une chance sur deux de tomber sur 2X.

Calculons E1 l'espérance de gain du joueur, dans le cas ou il ne change pas d'enveloppe.
E1 = 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X
L'espérance de gain du joueur, en ne changeant pas d'enveloppe est égale à 3/2 X.

Calculons E2 l'espérance de gain du joueur, dans le cas ou il change d'enveloppe.
En changeant d'enveloppe, est-ce que le joueur augmente ses chances de tomber finalement sur 2X (ou X) ?
Non, les chances de tomber sur X ou 2X restent les mêmes, ça reste aléatoire, basé sur le tirage pile ou face de départ.
Donc, E2= 1/2 * X + 1/2 * 2X = 3/2 * X
L'espérance de gain du joueur, en changeant d'enveloppe est égale à 3/2 X.

Les deux stratégies conduisent donc à la même espérance de gain car E1=E2.

Flying_pyros, justement c'est ce que je dis.

J'affirme que c'est à cette question là que répondent tout ceux qui disent qu'il faut changer d'enveloppe.

Ils attribuent 50% à cette probabilité là ... qui est pourtant inconnue.